发布时间 : 星期日 文章第五章 留数（答案）更新完毕开始阅读b9067c1cff00bed5b9f31de6
1112z?1?f()?2?以z?0为一节极点，从而由1z2z(3z2?1)zz3?2z112Res[f()?2,0]=lim2?2
z?03z?1zz11Res[f(z),?]??Res[f()?2,0]??2.zz2?
3．计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向） （1）
sinz??|z|?32zdz
sinzz2?1??? z3!sinzsinzdz?2?iRes[,0]?2?ic?1?0. ??|z|?32zz （2）
1?cosz??|z|?32z3dz
1?cosz1z???? 3z2!z4!??
3|z|?21?cosz1?cosz1dz?2?iRes[,0]?2?ic?2?i???i. ?133zz2复变函数练习题 第五章 留数
系 专业 班 姓名 学号
§3 留数在定积分计算上的应用
一、选择题
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1??|z|?2zn?1dz? [ ]
2?i（A）0 （B）2?i （C） （D）2n?i
n1．设n?1为正整数，则
???1?1的所有奇点满足z?1?1，从而dz??2?iRes[f(z),?]?n???n?z?1|z|?2z?1??1?zn?1在无穷远点可展成：?1???n=1n?1?11n?z?1z???1 对应的c?1?0?1?1znkn(k?1)k?0zk?0zzn2．积分
??z9|z|?3z10?1dz? 2（A）0 （B）2?i （C）10 ???z9???z10?1在?点可以展成：????z99?z10?1=zz?1?1??1?1z?1?1??1010????
10?z???z????从而???z9|z|?32z10?1dz??2?iRes[f(z),?]??2?ic?1?2?i???二、填空题 1．积分
??1|z|?3 -2i 。
2sin?zdz? 34
???
????? D）
?i5 ] [ （?1?的所有奇点有：z?k(k?Z)，落在积分曲线内的点有：z?0，?1??sin?z??1??从而dz?2?i(Res[f(z),0]?Res[f(z),1]?Res[f(z),?1])??|z|?32sin?z????z1?z1??Res[f(z),0]?lim?lim???? z?0sin?zz?0?sin?z???z?1z?11?Res[f(z),1]?lim??lim??z?1sin?zz?1?sin?(z?1)?????z?11?Res[f(z),?1]?lim?????z??1?sin?(z?1)???z132．设f(z)?2，则f(z)在复平面上所有有限奇点处留数之和为 0 。 8(z?1)(z?1)1??13?11?111124816zf()??????(1?z?z??)(1?z?z??)??222811zzzz(1?z)(1?z)z??(2?1)(8?1)zz????11????Res[f(z),?]??Res[f()?2,0]??c?1?0??zz?
三、解答题
ez1．求函数f(z)?2在?的留数。
z?1ezf(z)?2在z平面上具有两个奇点z??，它们都是一阶极点1.z?1ezeResf[z()?,1]lim?；z?1z?12 z?1eeRes[f(z),?1]?lim??；z??1z?12e?e?1从而，Res[f(z),?]??{Res[f(z),1]?Res[f(z),?1]}??2
z2n2．计算积分?，C:|z|?r?1. ?C1?zndz（n为一正整数）
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z2nn在z平面上的奇点为方程z?1的根，则全落于积分曲线C内部.从而n1?zz2n??C1?zndz??2?iRes[f(z),?].z2n在z??处可展为：n1?zz2nz2n111n ???z(1????)nnn2n11?zz1?zznz当n?1时，c?1?1；当n?1时，c?1?0.?2?i，n?1z2n从而??C1?zndz???0，n?1
3．计算下列积分： （1）
?2?01d?
5?3sin??2?01d???z?15?3sin?1dz2dz??
z?z?1iz?z?13(z?i)(z?3i)5?3?32i被积函数
i3(z?)(z?3i)3i在|z|=1内只有一个奇点z??，且为一阶极点. 从而
3f(z)?2
i2?I?2?iRes[f(z),?]?2?ilim?.
i32z??3(z?3i)3 （2）
?2?0sin2?d?
5?4cos? 36