宁夏六盘山高级中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析) 联系客服

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证:

(1)求证:EG平面BB1D1D

(2)求异面直线BF与HB1所成角的余弦值. 【答案】(1)见解析;(2)【解析】 【分析】

(1)取BD的中点O,连接EO,D1O,证明四边形OEGD1是平行四边形,从而EG//D1O,进而可得EG平面BB1D1D;

1 5(2)设出正方体的棱长,利用向量的加法和数量积求出BF?HB1,根据向量的夹角公式可求出异面直线BF与HB1所成角的余弦值. 【详解】(1)取BD的中点O,连接EO,D1O,

1DC, 21又D1G//DC,D1G?DC,

2则OE//DC,OE? - 13 -

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?OE//D1G,OE?D1G

∴四边形OEGD1是平行四边形,

?EG//D1O,又D1O?平面BB1D1D,EG?平面BB1D1D,

∴EG平面BB1D1D;

(2)设正方体的棱长为2,异面直线BF与HB1所成角为?, 则BF?HB1?5,

?BF?HB1?(BC?CF)?(HA1?A1B1)?BC?HA1?BC?A1B1?CF?HA1?CF?A1B1

?0?0?1?0?1,

?cos??BF?HB1BF?HB1?11?,

5?55所以异面直线BF与HB1所成角的余弦值为

1. 5【点睛】本题考查线面平行的判定,以及异面直线所成的角,利用向量的夹角公式,可方便求出异面直线所成的角,不用建系,不用作图. 20.己知抛物线C:y?2px(p?0)过点M(1,?22) (1)求抛物线C的方程:

(2)设F为抛物线C的焦点,直线l:y?2x?8与抛物线C交于A,B两点,求FAB的面积.

【答案】(1)y?8x;(2)12. 【解析】 【分析】

(1)将点M的坐标代入抛物线方程中即可;

(2)联立方程组先求出A,B点坐标,进而利用两点间距离公式求出AB,然后利用点到直线距离公式求出FAB的高,最后代入三角形面积公式求解即可. 【详解】(1)

点M在抛物线C上,

22?将M(1,?22)代入方程y2?2px中,有?22??2?2?p?1,解得p?4,

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?抛物线C的方程为y2?8x.

(2)如图所示,由抛物线方程可知焦点F(2,0), 则点F到直线AB的距离为d?|2?2?0?8|22?(?1)2?45, 5?y2?8x联立方程组?,可解得A(8,8),B(2,-4),

y?2x?8?所以,|AB|?(2?8)2?(?4?8)2?65, 所以,SFAB?d145?|AB|???65?12. 225

【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系以及抛物线性质的应用,涉及到的知识点包括两点的之间的距离公式和点到直线的距离公式,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力,属于基础题.

21.如图四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是正方形,PB?BC,PD?CD,且PA?AB,

E为PD中点.

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(1)求证:PA?平面ABCD; (2)求二面角A?BE?C的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2) ?【解析】 【分析】

(1)推导出BC?AB,BC?PB,从而BC⊥平面PAB,进而BC?PA.求出CD?PA,由此能证明PA?平面ABCD.

(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A?BE?C的正弦值. 【详解】(1)∵底面ABCD为正方形, ∴BC?AB,

又BC?PB,AB?PB?B, ∴BC⊥平面PAB, ∴BC?PA.

同理CD?PA,BC?CD?C, ∴PA?平面ABCD.

(2)建立如图的空间直角坐标系A?xyz,不妨设正方形的边长为2.则 A(0,0,0),C(2,2,0),E(0,1,1),B(2,0,0)

10. 5设m?(x;y,z)为平面ABE的一个法向量,又AE?(0,1,1),AB?(2,0,0),

?m?AE?y?z?0,令y??1,z?1,得m?(0,?1,1) ??m?AB?2x?0同理n?(1,0,2)是平面BCE的一个法向量,

则cos?m,n??m?n210. ??|m||n|52?510. 5∴二面角A?BE?C的余弦值为? - 16 -