发布时间 : 星期三 文章宁夏六盘山高级中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)更新完毕开始阅读b97bd74d0522192e453610661ed9ad51f01d5487
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【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
x2y222.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的
ab长轴长为直径的圆与直线x?y?2?0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否
存在定点E，使得EA?EB为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．
?5?x2【答案】（1）?y2?1；（2）定点为?,0?.
2?4?【解析】
分析：（1）根据一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆C的长轴为直径的圆与直线
x?y?2?0相切，结合性质a2?b2?c2 ，列出关于a 、b 、c的方程组，求出a 、b 、
?x22??y?1c，即可得结果；(2) 设直线y?k?x?1??k?0?联立?2，得
?y?k?x?1???1?2k?x22?4k2x?2k2?2?0,??8k2?8?0. 假设x轴上存在定点E?x0,0?，由韦达定
202?4x0?1k2?x0?2?2x理，利用平面向量数量积公式可得EA?EB??
??1?2k2?，要使EA?EB为
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定值，则EA?EB的值与k无关，所以2x20?4x0?1?2?x20?2?，从而可得结果.
??b?c详解：（1）由题意知，??a?0?0?2??b?1?2，解得?a?2 ??b2?c2?a2??c?1x2则椭圆C的方程是2?y2?1
（2）①当直线的斜率存在时，设直线y?k?x?1??k?0?
?x2联立??2?y2?1，得?1?2k2?x2?4k2x?2k2?2?0,??8k2?8?0
??y?k?x?1?4k2x2k2所以?2A?xB?1?2k2,xAxB?1?2k2 假设x轴上存在定点E?x0,0?，使得EA?EB为定值。
所以EA?EB??xA?x0,yA???xB?x0,yB??xAxB?x0?xA?xB??x20?yAyB
?x?x2AxB0?x0?k2?xA?1??xB?1?
??1?k2?xAxB??x0?k2??xA?x2B??x0?k2
?2x2?0?4x??20?1k2?x0?2?
1?2k2要使EA?EB为定值，则EA?EB的值与k无关， 所以2x20?4x0?1?2?x20?2? 解得x0?54， 此时EA?EB??7?5?16为定值，定点为??4,0??
②当直线的斜率不存在时，A???1,2??2??,B????1,?2??2??，?EA?EB??716也成立 所以，综上所述，在x轴上存在定点E??57?4,0???，使得EA?EB为定值?16
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点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
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