发布时间 : 星期五 文章2016-2017《创新设计》同步人教A版选修2-1 2-2第一章 章末复习课更新完毕开始阅读b9dcc3bd9a89680203d8ce2f0066f5335a8167ce
题型一 导数与曲线的切线
利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类y0－y1
是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由
x0－x1＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．
例1 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值．
a
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
x2
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，
x因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0.
ax－a
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
xx
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a. 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，1
若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．
4
2
解 依题意有：f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，
x－2∴l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0， ∵l与圆相切，∴11
∴a的值为. 8
题型二 导数与函数的单调性 求解函数y＝f(x)单调区间的步骤： (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
111＝?a＝，
84?a－1?2＋12|2－a|
特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．
例2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)； (2)f(x)＝x(x－a)2.
解 (1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex， 令f′(x)>0，解得x>2，又x∈(0，＋∞)，
∴函数的单调增区间为(2，＋∞)，函数的单调减区间为(0,2)． (2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R， a
由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝，x2＝a.
3①当a>0时，x1 a ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，)，(a，＋∞)， 3a 单调递减区间为(，a)． 3②当a<0时，x1>x2， a ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(，＋∞)， 3a 单调递减区间为(a，)． 3 ③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是单调递增的． aa 综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，)，(a，＋∞)，单调递减区间为(，a)； 33aa a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(，＋∞)，单调递减区间为(a，)； 33a＝0时，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝sin x，x∈[0,2π]； (2)y＝xlnx. 解 (1)函数的定义域是[0,2π]， f′(x)＝cos x，令cos x>0， ππ 解得2kπ－ 22π3π 当x∈[0,2π]时，0 22 π3π 令cos x<0，解得 22 π3ππ3π 因此，f(x)的单调递增区间是(0，)和(，2π)，单调递减区间是(，)． 2222(2)函数的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝ln x＋1，令ln x＋1>0得x>e1， － 因此，f(x)的单调递增区间是(e1，＋∞)，单调递减区间是(0，e1)． － － 题型三 数形结合思想在导数中的应用 1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点． 2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)求得的极植与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值； 特别地，①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一个点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． 236 例3 设 322b. 解 令f′(x)＝3x2－3ax＝0， 得x1＝0，x2＝a. a33 f(0)＝b，f(a)＝－b，f(－1)＝－1－a＋b， 223 f(1)＝1－a＋b. 2 23 因为 32故最大值为f(0)＝b＝1， 33所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a， 22366 所以－a＝－，所以a＝. 223