发布时间 : 星期四 文章2011数值分析第一次作业及参考答案解析更新完毕开始阅读b9e0164a640e52ea551810a6f524ccbff121caa4
数值计算方法第一次作业及参考答案
1. 已测得函数y?f(x)的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），
（1）用Lagrange插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton插值求二次插值多项式。
解：(1)Lagrange插值基函数为
l0(x)?(x?1)(x?2)1??(x?1)(x?2)
(0?1)(0?2)211x(x?2),l2(x)?x(x?1) 362同理 l1(x)?故
p2(x)??yilix(?)?i?01x(?25?11x)?(?2)xx?(?2x)x?36
(1)?x2?3x?1（2）令x0?0,x1??1,x2?2，则一阶差商、二阶差商为
f[x0,x1]?1?5??4,0?(?1)f[x1,x2]?5?(?1)??2
?1?2f[x0,x1,x2]??4?(?2)?1
0?2 一阶差商 －4 －2 2 实际演算中可列一张差商表： xi 0 －1 2 yi 1 5 －1 二阶差商 1 （3）用对角线上的数据写出插值多项式
P2(x)?1?(?4)(x?0)?1*(x?0)(x?1)?x?3x?1
xx2. 在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似值，要使
截断误差不超过10，问使用函数表的步长h应取多少？
?6解：
f(x)?ex,f(k)(x)?ex?e4,x?[?4,4],考察点x0?h,x0,x0?h及x?x0?th,t?1.
1
则R2(x)?f(3)(?)3[x?(x0?h)]t(t?1)(t?1)43e4?(t?1)h?th?(t?1)h?eh3!3!e423??h.??(?4,4).633
(t(t?1)(t?1)在点?e4令 93
12处取到极大值）333
h3?10?6 得 h?0.006.3. 求f(x)?x在［a,b］上的分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。
2解：
x?xk?12x?xk2xk2?xk2?1Ih(x)?xk?xk?1?xxk?xk?1xk?1?xkxk?xk?1?xk?1?x?xk?xxk?xk?12k2k?1
?(xk?xk?1)x?xkxk?1Rh(x)?f(x)?Ih(x)?x2?[(xk?xk?1)x?xkxk?1]112?(x?xk)(x?xk?1)??xk?1?xk??h244
4. 已知单调连续函数y?f(x)的如下数据
xi f(xi) －0.11 －1.23 0.00 －0.10 1.50 1.17 1.80 1.58 用插值法计算x约为多少时f(x)?1.（小数点后至少保留4位）
解：作辅助函数g(x)?f(x)?1,则问题转化为x为多少时，g(x)?0.此时可作新的关于g(xi)的函数表。由f(x)单调连续知g(x)也单调连续，因此可对g(x)的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为
2
x?g?1(y)??0.11?0.097345(y?2.23)?0.451565(y?2.23)(y?1.10) ?0.255894(y?2.23)(y?1.10)(y?0.17)故 x?g?1(0) 97.?1.3214
5. 设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3
的多项式P3(x)，使其满足P3(2)?1 。并写出误差3(0)?0，P3(1)?1，P3'(1)?3,P估计式。
57解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式P3(x)， p3(x)??x3?7x2?x
22x(x?12)(?2);?1x(??)xx?(x?1)(?22)x;?() ?1(x)??xx2;由题意可设R(x)?f(x)?p3(x)?k(x)x(x?1)2(x?2)
为确定待定函数k(x)，作辅助函数： g(t)?f(t)?p3(t)?k(t)t(t?1)2(t?2) 则g(t)在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点t?x,0,1,2(t?1为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点??(0,3)使g4(?)?0，从而得
k(x)?1(4)f(?)。 4!1(4)f(?)x(x?1)2(x?2)4!故误差估计式为R(x)?
??(0,3)
6. 设函数y?f(x)在节点x?0,1,2,3的函数值均为零，试分别求满足下列边界条件下的
三次样条插值函数S(x)：
（1）f(0)?1,f(3)?0 （2）f(0)?1,f(3)?0
''''''解：（1）取xi处的一阶导数mi作为参数，i?1,2。由于
?i?hi11?,?i?1??i?,gi?3(?if[xi?1,xi]??if[xi,xi?1])?0
hi?1?hi22以及由三转角方程 ?imi?1?2mi??imi?1?gi,i?1,2
3
1?1m?2m?m2?001??4m?m2??1?22得 ? 由于m0?1,m3?0,从而 ?1
?m1?4m2?0?1m?2m?1m?0123??22解之可得m1??4/15,m2?1/15
51x1)/15,x??x(x?1)(1??(?2)?(7x3)/1x5?,故 S(x)??(x?1)x?(x?32)x(?2)/15,x??[0,1] [1,2][2,3]（2）取xi处的二阶导数Mi作为参数，i?1,2。由于
?i?hi?111?,?i?1??i?,di?6f[xi?1,xi,xi?1]?0
hi?1?hi22以及由三弯矩方程
1?1M?2M?M2?01??202i?1,2??
11?M?2M?M?0123??22 ?iMi?1?2Mi??iMi?1?di由于M0?1,M3?0,代入方程可得 M1??4/15,M3?1/15,
9?26)/90,x?[?x(1?x)(1x?(?2)x(?512)/9x?0, [1,2]故 S(x)??(x?1)x?(3?x)x(?2)x(?4)/90x,?[2,3]?
7．编程实现题：
略。
8、试求 f(x)?sinx,x?[0,]最佳一次一致逼近多项式。
2?解：因为f''(x)??sinx在[0,?/2]内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为
* P?)f1x()]?/2x(1x /2)1(x)?[f(01a?式中 a1?f(?/2)?f(0)2??0.63661977a1?f'(x1)?cosx1?x1?0.88068924
?/2?0?*从而 Px1(x)?(sin1)?/2ax?(1x1?/2)0.105?25683 x0.63661977 4