发布时间 : 星期二 文章人教版高一数学必修四第一章函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用更新完毕开始阅读b9f80365bf64783e0912a21614791711cc7979f7
π
所以2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
6(10分)
由y≤0列出不等式是本问求解的关键，否则不得分
π5
所以kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)，
1212所以使y≤0时，x的取值范围是
??π5
?x|kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z?.(12分)
1212??
(1)对于y＝Asin(ωx＋φ)主要研究其单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等，应注意采π3π
用整体代换的思想．如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)
22时取得最小值．
(2)本例中(2)(3)问都体现整体思想．
π11
1．简谐运动y＝sin?πx－?的频率f＝__________．
4?312?2π11
解析：周期T＝＝6，则频率f＝＝.
1T6π31答案： 6
2．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x＝________．
ππ
解析：由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
62π
所以φ＝＋kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，
65
所以φ＝－π.
6
π
，则φ的值为6
5
答案：－π
6
π
3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?ω>0，A>0，|φ|
2??(1)求函数f(x)的解析式；
ππ
(2)求函数y＝f(x)在?－，?上的值域．
?46?
T2π7πππ
解：(1)由图象可知A＝1，＝＝－＝，所以ω＝2.
44ω1234π
又由图象知2·＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
3
ππππ??
所以φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin?2x＋?.
3233??π?π2π??ππ?
(2)当x∈?－，?时，2x＋∈?－，?，
3?63??46?1π??
－，1?， 所以f(x)＝sin?2x＋?∈?
3??2??1
－，1?. 所以函数f(x)的值域为??2?
[A 基础达标]
π
1．y＝2sin?2x－?的振幅、频率和初相分别为( )
4??π1
A．2，，－
4ππ1
C．2，，－ 8π
π1
B．2，，－ 42ππ1
D．2，，－
82π
π??
解析：选A.由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin?2x－?的振幅为2，周期为
4??π1
π，频率为，初相为－，故选A.
4π
ππ
2．下列函数中，周期为π，且在?，?上为减函数的是( )
?42?π
A．y＝sin?2x＋?
2??π
C．y＝sin?x＋?
?2?
π
B．y＝cos?2x＋?
2??π
D．y＝cos?x＋?
?2?
π?ππ?
解析：选A.选项C，D的周期为2π，所以排除；选项A，B，当x∈?，?时，2x＋
2?42?3π?π???
π，π?，y＝sin?2x＋?为减函数，y＝cos?2x＋?为增函数，故选A. ∈??2?2?2???
ππ3．(2019·贵阳市第一学期检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?ω>0，－<φ
22??图象如图所示，则φ的值为( )
π
A．－
3πC．－
6
πB. 3πD. 6
2πTπππ
解析：选B.由题意，得＝＋＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝
2362ωπππ?π??2π?
1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又f??＝sin?＋φ?＝0，－<φ<，所以φ＝，故选B.
223?3??3?
2ππ
4．设f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的定义域为R，周期为，初相为，值域
36为[－1，3]，则函数f(x)的解析式为( )
π
A．f(x)＝2sin?3x＋?＋1
6??π
B．f(x)＝2sin?3x＋?－1
6??π
C．f(x)＝－2sin?3x＋?－1
6??π
D．f(x)＝2sin?3x－?＋1
6??
解析：选A.因为－A＋B＝－1，A＋B＝3，所以A＝2，B＝1， 2π2ππ
因为T＝＝，所以ω＝3，又φ＝，
6ω3π??
故f(x)＝2sin?3x＋?＋1.
6??
π
5．若将函数y＝sin?2x－?的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
4??π
再向右平移个单位，则所得函数g(x)图象的一个对称中心为( )
6
A.?
5π?π
，0 B.?，0? ?12??4?
ππ
C.?，0? D.?，0? ?6??12?
π??
解析：选A.将y＝sin?2x－?的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
4??ππ???1?π??可以得到y＝sin?2x－?＝sin?x－4?的图象，再向右平移个单位可以得到y＝
6??2?4???π?π??5π??5π??5π?
sin??x－?－?＝sin?x－?的图象，因此，g(x)＝sin?x－?，由g??＝sin 0＝0，选项A
?12??12??12???6?4?
正确．
π
6．函数y＝2sin?2x－?与y轴最近的对称轴方程是____________．
6??π??
解析：对于函数y＝2sin?2x－?，
6??ππkππ
令2x－＝kπ＋(k∈Z)得，x＝＋，
6223
ππ
因此，当k＝－1时，得到x＝－，故直线x＝－是与y轴最近的对称轴．
66π
答案：x＝－
6
7．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝有最小值－2，则ω＝________．
T2πππ
解析：依题意知＝－＝，
2362
π2π时，有最大值2，当x＝时，63