发布时间 : 星期日 文章黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷含解析更新完毕开始阅读ba082560473610661ed9ad51f01dc281e53a5629
19．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为??x?6cos??（?是参数），以原点O为极点，x轴的
??y?sin???正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为?sin???（1）求直线l与曲线C的普通方程，并求出直线的倾斜角；
????2. 4?（2）记直线l与y轴的交点为Q,M是曲线C上的动点，求点M,Q的最大距离.
?x2【答案】（1）?y2?1，y?x?2，直线l的倾斜角为
46（2）330 5【解析】 【分析】
?x??cos?（1）由公式sin??cos??1消去参数得普通方程，由公式?可得直角坐标方程后可得倾斜
y??sin??22角；
（2）求出直线l与y轴交点Q，用参数表示M点坐标，求出MQ，利用三角函数的性质可得最大值． 【详解】
2?x?6cos?,?x（1）由?，消去?得C的普通方程是： ?y2?1
6??y?sin?,由?sin?????????2，得?sin???cos??2， 4?将??x??cos?代入上式，化简得y?x?2
?y??sin?直线l的倾斜角为
? 4（2）在曲线C上任取一点M?6cos?,sin?，
?直线l与y轴的交点Q的坐标为?0,2? 则MQ??6cos??0??2?sin????5sin2??4sin??10
?22当且仅当sin???【点睛】
2330. 时，MQ取最大值55本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．求两点间距
离的最值时，用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2?2px（p?0）的焦点F在直线x?y?1?0上，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交抛物线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若F在线段AB上，P是DE的中点，证明：APPEF. 【答案】（1）y?4x；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的焦点在直线x?y?1?0上，可求得p的值，从而求得抛物线的方程；
（2）法一：设直线l1，l2的方程分别为y?a和y?b且a?0，b≠0，a1b，可得A，B，D，E的坐标，进而可得直线AB的方程，根据F在直线AB上，可得ab??4，再分别求得kAP，kEF，即可得证；法二：设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则P??1,2??y1?y2??，根据直线AB的斜率不为0，设出直线AB的2?方程为x?1?my，联立直线AB和抛物线C的方程，结合韦达定理，分别求出kAP，kEF，化简kAP?kEF，即可得证. 【详解】
（1）抛物线C的焦点F坐标为?所以
?p?,0?，且该点在直线x?y?1?0上， 2??p?1?0，解得p?2，故所求抛物线C的方程为y2?4x 2（2）法一：由点F在线段AB上，可设直线l1，l2的方程分别为y?a和y?b且a?0，b≠0，a1b，
?b2??a2?则A?,a?，B?,b?，D??1,a?，E??1,b?.
?4??4?b?ay?a?2∴直线AB的方程为ba2?44?a2??x??，即4x??a?b?y?ab?0.
4??又点F?1,0?在线段AB上，∴ab??4. ∵P是DE的中点，∴P??1,??a?b?? 2?∴kAP4a?ba?42?a2??2?，b2.
?a??kAPa2a?4akEF??1?2?2a42a?由于AP，EF不重合，所以AP//EF 法二：设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则P??1,??y1?y2?? 2?当直线AB的斜率为0时，不符合题意，故可设直线AB的方程为x?1?my
?x?1?my2联立直线AB和抛物线C的方程?2，得y?4my?4?0
?y?4x又y1，y2为该方程两根，所以y1?y2?4m，y1y2??4，kAP?y1?1?y1?y2?y?yy2. 212，kEF???2x1?12?x1?1?kAP?kEFy12?4y1y?yy?121y1?y2?y2?x1?1?y1?y2x144?0，kEF?kAP ????2?x1?1??x1?1??x1?1??x1?1?由于AP，EF不重合，所以AP//EF 【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 21．已知函数f?x??x?ax?alnx，a?R
2（1）若a?1，求f?x?的单调区间和极值；
（2）设g?x??f?x???a?2?lnx??a?2b?2?x，且g?x?有两个极值点x1，x2(x1 b?1?43，求g?x1??g?x2?的最小值. 3【答案】（1）f?x?增区间为?38?1??1?,???，减区间为?0,?; 极小值?ln2，无极大值；（2）?2ln3 43?2??2?【解析】 【分析】 （1）求出f（x）的导数，解不等式，即可得到函数的单调区间，进而得到函数的极值； （2）由题意可得x1?x2?b?1，x1x2?1，求出g?x1??g?x2?的表达式， ?1?h?t????t???2lnt?0?t?1?，求出h（t）的最小值即可． ?t?【详解】 （1）将a?1代入f?x?中，得到f?x??x?x?lnx，求导， 212x2?x?1?x?1??2x?1?得到f??x??2x?1??，结合x?0， ?xxx f?x?增区间为?当f??x??0得到： 1?1??1?,???，fxx?当f??x??0，得f?x?减区间为 0,且在????2?2??2??1?3f时有极小值????ln2，无极大值. ?2?4（2）将f?x?解析式代入，得g?x??x??2b?2?x?2lnx，求导 2得到g??x??2x??2b?2??2222?， ??x??b?1?x?1??xx令g??x??0,得到x??b?1?x?1?0, ?x1?x2?b?1，x1x2?1，???b?1??4?2164?4? 3322g?x1??g?x2????x1??2b?2?x1?2lnx1?????x2??2b?2?x2?2lnx2??， ?x12?x22??2b?2??x1?x2??2?lnx1?lnx2?， ?x12?x22?2?x1?x2??x1?x2??2ln????x1， x2??x12?x22x1x2???2lnx1x2， ?xx?x???1?2??2ln1， x2?x2x1?因为0?x1?x2，所以设t?x11??0?t?1?,令h?t????t??2lnt?0?t?1?， ??x2?t?2?t?1??0所以h?t?在?0,1?单调递减,又因为b?1?43 1?2?则h??t????1?2????3t2?t?t