发布时间 : 星期五 文章（全国通用）2017届高考数学一轮总复习 第十章 圆锥曲线 10.3 抛物线及其性质专用题组 理 新人教b版更新完毕开始阅读ba634b77ed3a87c24028915f804d2b160a4e8631
§10.3 抛物线及其性质
考点一 抛物线的定义与标准方程
8.(2012陕西,13,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽 米.
答案 2
解析 建立坐标系如图所示.
则抛物线方程为x=-2py.
∵点A(2,-2)在抛物线上,∴p=1,即抛物线方程为x=-2y.当y=-3时,x=±. ∴水位下降1米后,水面宽为2米.
评析 本题考查了解析法在实际问题中的运用.坐标运算是解题的关键.
9.(2012山东,21,13分)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.
(1)求抛物线C的方程;
(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当≤k≤2时,|AB|+|DE|的最小值.
解析 (1)依题意知F,圆心Q在线段OF的垂直平分线y=上, 因为抛物线C的准线方程为y=-,所以=,即p=1. 因此抛物线C的方程为x=2y.
(2)假设存在点M(x0>0)满足条件,抛物线C在点M处的切线斜率为y'='=x0, 所以直线MQ的方程为y-=x0(x-x0), 令y=,得xQ=+,所以Q. 又|QM|=|OQ|, 故+=+, 因此=,又x0>0, 所以x0=,此时M(,1),
故存在点M(,1),使得直线MQ与抛物线C相切于点M.
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(3)当x0=时,由(2)得Q, ☉Q的半径为r==, 所以☉Q的方程为+=. 由整理得2x-4kx-1=0,
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 由于Δ1=16k+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-,
所以|AB|=(1+k)[(x1+x2)-4x1x2]=(1+k)(4k+2). 由
整理得(1+k)x-x-=0.
设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4), 由于Δ2=+>0,x3+x4=,x3x4=-, 所以|DE|=(1+k)[(x3+x4)-4x3x4]=+. 因此|AB|+|DE|=(1+k)(4k+2)++. 令1+k=t,由于≤k≤2,则≤t≤5. 所以|AB|+|DE|=t(4t-2)++=4t-2t++, 设g(t)=4t-2t++,t∈, 因为g'(t)=8t-2-, 所以当t∈时,g'(t)≥g'=6, 即函数g(t)在t∈上是增函数, 所以当t=时,g(t)取到最小值, 因此,当k=时,|AB|+|DE|取到最小值.
评析 本题考查抛物线的定义、导数及函数的最值等知识,考查学生的运算求解、逻辑推理及分析问题、解决问题的能力,运算能力较差是学生解答本题出错的主要原因. 考点二 抛物线的几何性质
8.(2013四川,6,5分)抛物线y=4x的焦点到双曲线x-=1的渐近线的距离是( ) A. B. C.1 D.
答案 B 由抛物线y=4x,有2p=4?p=2,焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=±x,不妨取其中一条x-y=0,由点到直线的距离公式,有d==.故选B.
评析 考查抛物线及双曲线的基本性质,点到直线的距离公式的应用,考查运算求解能力. 9.(2013江西,14,5分)抛物线x=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= . 答案 6
解析 如图,在正三角形ABF中,DF=p,BD=p,∴B点坐标为.又点B在双曲线上,故-=1,解得p=6.
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10.(2013安徽,13,5分)已知直线y=a交抛物线y=x于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为 . 答案 [1,+∞)
解析 解法一:如图,以(0,a)为圆心,为半径作圆,当圆与抛物线有三个或四个交点时,C存在.
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联立y=x,x+(y-a)=a,整理得(y-a)(y-a+1)=0. 即y=a或y=a-1.故a-1≥0,即a≥1.
解法二:当C与原点重合时,∠ACB最小.故若存在C使得∠ACB为直角,则∠AOB≤,即·≥0,故a-a≥0,又a>0,所以a≥1.
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