发布时间 : 星期一 文章2020高考总复习基础版数学文科第三章高考专题突破(一)第2课时更新完毕开始阅读ba8dd55c12a6f524ccbff121dd36a32d7375c7fd
第2课时 导数与不等式
A组 基础达标
一、选择题
x1
1.已知x∈(0，2)，若关于x的不等式x＜恒成立，则实数k的取值范围为( )
ek＋2x－x2A.[0，e＋1)
B.[0，2e－1)
C.[0，e)
D.[0，e－1)
x1
解析 依题意，知k＋2x－x2＞0，即k＞x2－2x对任意x∈(0，2)恒成立，从而k≥0，所以由x＜可ek＋2x－x2
e（x－1）ex?ex2ex2?得k＜＋x－2x.令f(x)＝＋x－2x，则f′(x)＝＋2(x－1)＝(x－1)?x2＋2?.
xxx2
x
令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(1，2)时，f′(x)＞0，函数f(x)在(1，2)上单调递增，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，1)上单调递减，所以k＜f(x)min＝f(1)＝e－1，故实数k的取值范围是[0，e－1).
答案 D
2.若对任意的正实数x，不等式ex≥ax＋x2ln x恒成立，则正整数a的最大值为( ) A.1
B.2
C.3
D.4
x
解析 当x＝1时，有a≤e，所以正整数a的可能取值为1，2.当a＝2时，不等式为e
－2x≥x2ln x，即ex
－x2
（x－2）ex21（x－2）（ex－x）2ex2
－ln x≥0对任意的x>0恒成立.记g(x)＝2－－ln x，则g′(x)＝＋2－＝(x>0)，xxxx3xxx3显然ex>x，所以当x∈(0，2)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增.1
所以g(x)≥g(2)＝(e2－4－4ln 2)>0，所以当a＝2时，对任意的正实数x，不等式ex≥ax＋x2ln x恒成立，所以正
4整数a的最大值为2.
答案 B 二、填空题
3.(2019·太原检测)已知函数f(x)＝ex－ex－2x＋1，若对于任意实数x，不等式f(x2＋a)＋f(2ax)＞2恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，x∈R， 设g(x)＝ex－e－x－2x，x∈R，则f(x)＝g(x)＋1， 且g(－x)＝e－x－ex＋2x＝－(ex－e－x－2x)＝－g(x)， ∴g(x)是R上的奇函数.
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－
g′(x)＝ex＋e－x－2，易知g′(x)≥0恒成立，
∴g(x)是R上的增函数.不等式f(x2＋a)＋f(2ax)＞2恒成立，等价于g(x2＋a)＋g(2ax)＋2＞2恒成立， 即g(x2＋a)＞－g(2ax)＝g(－2ax)恒成立，
即x2＋a＞－2ax恒成立，即x2＋2ax＋a＞0恒成立， ∴Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1， ∴实数a的取值范围是(0，1). 答案 (0，1)
4.(2019·长沙三模)函数f(x)＝x－2sin x，对任意x1，x2∈[0，π]，恒有|f(x1)－f(x2)|≤M，则M的最小值为________.
解析 ∵f(x)＝x－2sin x，∴f′(x)＝1－2cos x， π
∴当0＜x＜时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
3π
当＜x＜π时，f′(x)＞0，f(x)单调递增. 3π
∴当x＝时，f(x)有最小值，
3ππ?π?π
且f(x)min＝f??＝－2sin＝－3.
33?3?3又f(0)＝0，f(π)＝π，∴f(x)max＝π. 由题意得|f(x1)－f(x2)|≤M恒成立等价于
?π?2π
M≥|f(x)max－f(x)min|＝π－?－3?＝＋3.
?3?3
2π
∴M的最小值为＋3.
3答案
2π
＋3 3
三、解答题
1
5.定义在实数集上的函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝x3－2x＋m.
3(1)求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[－4，4]恒成立，求实数m的取值范围.
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解析 (1)∵f(x)＝x2＋x，∴当x＝1时，f(1)＝2， ∵f′(x)＝2x＋1，∴f′(1)＝3，
∴所求切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0. 1
(2)令h(x)＝g(x)－f(x)＝x3－x2－3x＋m，
3则h′(x)＝(x－3)(x＋1). ∴当－4
要使f(x)≥g(x)恒成立，即h(x)max≤0， 由上知h(x)的最大值在x＝－1或x＝4处取得， 5205
而h(－1)＝m＋，h(4)＝m－，所以m＋≤0，
3335
即m≤－，
3
5
－∞，－?. ∴实数m的取值范围为?3??6.已知函数f(x)＝x3－ax2＋10.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f(x)＜0成立，求实数a的取值范围. 解析 (1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋10， 所以f′(x)＝3x2－2x，所以k＝f′(2)＝8. 又f(2)＝14，所以切线方程为y＝8x－2.
x3＋101010
x＋2?. (2)由已知得a＞2＝x＋2至少有一个实数x使之成立，即a＞??x?minxx
1020
设g(x)＝x＋2(1≤x≤2)，则g′(x)＝1－3，
xx因为1≤x≤2，所以g′(x)＜0. 所以g(x)在[1，2]上是减函数， 99
所以g(x)min＝g(2)＝，a＞，
22
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9?即a的取值范围是??2，＋∞?.
B组 能力提升
7．(2020·合肥质检)已知函数f(x)＝ax－axln x－1(a∈R，a≠0)． (1)讨论函数f(x)的单调性； 11
(2)当x＞1时，求证：＞x－1.
x－1e解析 (1)f′(x)＝a－a(ln x＋1)＝－aln x， 若a＞0，则当x∈(0，1)时，f′(x)＞0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，
∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 若a＜0，则当x∈(0，1)时，f′(x)＜0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． (2)证明 要证
11x＞x－1，即证＞e－x， ex－1x－1
x－1
即证＜ex，
x
结合(1)中的结论，令a＝1，知f(x)＝x－xln x－1在(1，＋∞)上单调递减，f(1)＝0， x－1
∴当x＞1时，x－xln x－1＜0，即＜ln x，
x则只需证当x＞1时，ln x＜ex即可． 令F(x)＝ex－ln x，x＞1，
1
则F′(x)＝ex－单调递增，∴F′(x)＞e－1＞0，
x∴F(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴F(x)＞e， ∴ex－ln x＞e＞0，
x－1
∴ex＞ln x，∴ex＞ln x＞，∴原不等式得证．
x8．(2019·江南十校联考)已知函数f(x)＝xln x(x>0)． (1)求f(x)的单调区间和极值；
－x2＋mx－3(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥恒成立，求实数m的最大值．
2
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