发布时间 : 星期一 文章2020届高考数学大二轮复习 第1部分 专题3 第2讲 三角恒等变换与解三角形练习更新完毕开始阅读bab93597b94cf7ec4afe04a1b0717fd5360cb28f
第一部分 专题三 第二讲 三角恒等变换与解三角形
A组
π
1.若2sin(θ+)=3sin(π-θ),则tanθ等于( B )
3A.-3
3
B.3
2
23C.
3
D.23
3,2
[解析] 由已知得sinθ+3cosθ=3sinθ,即2sinθ=3cosθ,所以tanθ=故选B.
4π2
2.(文)如果sinα=,那么sin(α+)-cosα等于( A )
54222
A.
542C.
5
π2
[解析] sin(α+)-cosα
42
ππ24222
=sinαcos+cosαsin-cosα=×=.
442525(理)已知α∈R,sinα+2cosα=4
A. 33C.- 4
10
,则tan2α=( C ) 2
3B. 44D.- 322B.-
542D.-
5
[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系. 将sinα+2cosα=
10
两边平方可得, 2
522
sinα+4sinαcosα+4cosα=,
2
34sinαcosα+3cosα3
∴4sinαcosα+3cosα=,∴=. 222sinα+cosα2
2
2
将左边分子分母同除以cosα得,
2
1
3+4tanα31
=,解得tanα=3或tanα=-, 2
1+tanα23∴tan2α=
2tanα3
=-. 2
1-tanα4
2
3.若三角形ABC中,sin(A+B)sin(A-B)=sinC,则此三角形的形状是( B ) A.等腰三角形 C.等边三角形
2
B.直角三角形 D.等腰直角三角形
[解析] ∵sin(A+B)sin(A-B)=sinC,sin(A+B)=sinC≠0,∴sin(A-B)=sin(A+B),∴cosAsinB=0,
∵sinB≠0,∴cosA=0,∴A为直角.
1
4.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=2,则AC=( B )
2A.5 C.2
B.5 D.1
[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式. 111
∵S△ABC=acsinB=·2·1·sinB=,
222∴sinB=
2π3π,∴B=或. 244
π
当B=时,
4
经计算△ABC为等腰直角三角形,不符合题意,舍去. 3π
∴B=,根据余弦定理,
4
b2=a2+c2-2accosB,解得b=5,故选B.
5.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cosA=3
,且2
b A.3 C.22 2 2 2 B.2 D.3 [解析] 由余弦定理得:a=b+c-2bccosA, 所以2=b+(23)-2×b×23× 2 2 2 2 3, 2 即b-6b+8=0,解得:b=2或b=4. 因为b 2 45 6.已知tanβ=,sin(α+β)=,其中α,β∈(0,π),则sinα的值为( A ) 31363 A. 6513C. 65 33B. 656333D.或 6565 435 [解析] 依题意得sinβ=,cosβ=,注意到sin(α+β)= +β>(否则,若α+β≤,则有0<β<α+β≤,0 12 ,sinα=sin[(α+β)-β]=sin(α+13 β)cosβ-cos(α+β)sin=. 7.(2018·淮北二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3b+3cπ -23bcsinA,则C等于. 6 [解析] 由余弦定理得a=b+c-2bccosA, 所以b+c-2bccosA=3b+3c-23bcsinA, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6365 b2+c2πb2+c2ππ2π 3sinA-cosA=,2sin(A-)=≥2,因此b=c,A-=?A=, bc6bc623 2π π- 3π 所以C==. 26 8.(2018·长沙三模)在锐角△ABC中,D为BC的中点,满足∠BAD+∠C=90°,则角 B,C的大小关系为B=C.(填“B [解析] 设∠BAD=α,∠CAD=β, 因为∠BAD+∠C=90°,所以α=90°-C,β=90°-B, 因为D为BC的中点, 所以S△ABD=S△ACD, 11 所以c·ADsinα=b·ADsinβ, 22 所以csinα=bsinβ,所以ccosC=bcosB, 由正弦定理得,sinCcosC=sinBcosB, 即sin2C=sin2B,所以2B=2C或2B+2C=π, 因为△ABC为锐角三角形,所以B=C. 9.为了竖起一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°, 3 BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米,为了稳定广告牌,要求AC越短越好,则AC最 短为2+3. [解析] 由题意设BC=x(x>1)米, AC=t(t>0)米,依题设AB=AC-0.5 =(t-0.5)米, 在△ABC中,由余弦定理得: AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos60°, 即(t-0.5)=t+x-tx,化简并整理得: 2 2 2 x2-0.25t=(x>1), x-1 0.75 即t=x-1++2, x-1 0.75 因为x>1,故t=x-1++2≥2+3, x-1当且仅当x=1+ 3 时取等号,此时取最小值2+3. 2 10.(2018·全国卷Ⅰ,17)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2, BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=22,求BC. [解析] (1)在△ABD中,由正弦定理得=. sinAsin∠ADB52 由题设知,=, sin45°sin∠ADB所以sin∠ADB= 2. 5 BDAB由题意知,∠ADB<90°, 所以cos∠ADB= 2231-=. 255 2 . 5 (2)由题意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB= 2 2 2 在△BCD中,由余弦定理得BC=BD+DC-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×22× 2 =25. 5 所以BC=5. 11.(文)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac 4