发布时间 : 星期四 文章2020年中考数学考点总动员 第07讲 一元二次方程及其应用（含解析）更新完毕开始阅读bb263b8f6d1aff00bed5b9f3f90f76c661374cd9
第7讲 一元二次方程及其应用
1．定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：ax＋bx＋c＝0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项． 2．解法
(1)直接开平方法：方程符合x＝m(m≥0)或(x±m)＝n(n≥0)的形式；
(2)配方法：①二次项系数化为1；②移项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；④原方程写成a(x＋h)＝k的形式；⑤当k≥0时，直接开平方求解；
(3)公式法：①化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b－4ac的值；④当b－4ac≥0时，将a，b，－b±b－4ac
c的值代入得x＝；
2a
(4)因式分解法：①将方程右边化为0；②将方程左边进行因式分解；③令每个因式为零，得两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得原方程的两个根． 3．一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为b－4ac(或记为“Δ”)． (1)b－4ac＞0?方程有两个不相等的实数根； (2)b－4ac＝0?方程有两个相等的实数根； (3)b－4ac＜0?方程没有实数根； (4)b－4ac≥0?方程有实数根． 4．一元二次方程的根与系数的关系
bc2
若一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝－，x1x2＝．
aa5．一元二次方程的实际应用常见类型及关系
(1)增长率问题：设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)＝b；当m为平均下降率时，n为下降次数，b为下降后的量，则有a(1－m)＝b. (2)几何图形问题：
①面积问题：S长方形＝ab(a，b分别表示长和宽)； S正方形＝a(a表示边长)；
2
n
n
2222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
S圆＝πr(r表示圆的半径)；
②体积问题：V长方体＝abh(a、b、h分别表示长、宽、高)； V正方体＝a(a表示边长)；
12
V圆锥＝πrh(r表示底面圆的半径，h表示高)；
3
3
2
考点1：一元二次方程的解法
【例题1】嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式时，对于b－4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax＋bx＋c＝0变形为： bc2
x＋x＝－，……第一步
aa
bb2cb22
x＋x＋()＝－＋()，……第二步
a2aa2ab2b－4ac(x＋)＝，……第三步 2
2a4a
bb－4ac2
x＋＝(b－4ac＞0)，……第四步 2a4a－b＋b－4acx＝.……第五步
2a
(1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b－4ac＞0时，方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式－b±b－4ac是x＝；
2a(2)用配方法解方程：x－2x－24＝0. 解：x－2x＝24， x－2x＋1＝24＋1， (x－1)＝25， x－1＝±5， x＝1±5， ∴x1＝－4，x2＝6.
归纳：一元二次方程有四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法． (1)若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；
(2)若一元二次方程可分解因式或缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；
(3)若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；
2
2
2
2
2
22
2
222
2
2
2
(4)若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解． 考点2：一元二次方程的实际应用
【例题2】(2019?湖北宜昌?10分)HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%． (1)求2018年甲类芯片的产量；
(2)HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值． 【考点】一元二次方程应用题．
【分析】(1)设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可；
(2)2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，由题意得出400(1+m%)+2×400(1+m%﹣1)+8000＝28000×(1+10%)，设m%＝t，化简得：3t+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣【解答】解：(1)设2018年甲类芯片的产量为x万块， 由题意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，解得：x＝400， 答：2018年甲类芯片的产量为400万块；
(2)2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块， 设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块， 则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200， ∴丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块， 2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部， 400(1+m%)+2×400(1+m%－1)+8000＝28000×(1+10%)， 设m%＝t，化简得：3t+2t－56＝0， 解得：t＝4，或t＝－
2
2
2
2
2
2
14（舍去），即可得出答案． 314（舍去）， 33
∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400；
答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．
归纳：利用一元二次方程解决实际应用问题的关键是根据题干寻找等量关系，从而建立方程；解方程时要注意检验方程的根是否符合实际意义． 考点3： 一元二次方程与其它问题的综合应用
【例题3】（2018?重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．
（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？
（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．
【分析】（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
（2）根据单价=总价÷数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费用，设y=a%结合总价=单价×数量即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，进而可得出a的值． 【解答】（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，
根据题意得：x≥4（50﹣x）， 解得：x≥40．
答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．
（2）修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（万元）， 修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6（万元）．
根据题意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%）， 设y=a%，整理得：50y2﹣5y=0，
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