发布时间 : 星期四 文章目标规划更新完毕开始阅读bba631d96f1aff00bed51eb3
第四章 目标规划习题 【例1】判断下述说法是否正确？
（a） 线性规划模型是目标规划模型的一种特殊形式； （b） 正偏差变量应取正值、负偏差变量应取负值； （c） 目标规划模型中，若不含系统约束，则一定有解； （d） 目标规划的数学模型应同时包括系统约束和目标约束。 答：
（a） 正确。模型结构完全一致，可以将线性规划模型改写成单一目标形式的目标规划。 （b） 错误。正负变量都定义取非负的值。
（c） 正确。目标规划的解是一种相对满意的解。 （d） 错误。可以没有系统约束。
【例2】已知目标规划问题的约束条件如下： 4x1 +3 x2 + d1- - d1+ =6 2 x1 -3x2 + d2- - d2+ =6 x1 ≤6
x1, x2≤≥0; di- , di+ ≥0 (i=1,2)
求在下述各目标下的满意解：
（a） minz= p1 (d1- + d1+ + d2- + d2+ )
（b） minz= p1 (d1- + d1+ )+ 2p1 (d2- + d2+ ) （c） minz= p1 (d1- + d1+ )+ 1.5p1 (d2- + d2+ ) （d） minz= p1 (d2- + d2+ )+ p2 (d1- + d1+ ) 解 如图5.1所示。 （a） A(1.5,0) Zmin=3
（b） A(1.5,0) 与B(3,0)的连线上，Zmin=6 （c） A(1.5,0) Zmin=4.5 （d） A(3,0) Zmin=6 x2 图5.1 4 3 d2- 2 d1+ 1 d2+ -d1 0 1 2 3 4 5 6 x1 【例3】有如下目标规划模型 minz= p1 (d1- + d1+ )+ p1 d2-
x1≤ 6
2 x1 -x2 + d1- - d1+ =2 2 x1 -3x2 + d2- - d2+ =6 xi≤≥0; di- , di+ ≥0
试用单纯形法求其满意解，若有多个满意解，求出其中的两个出来。 解 如表5.1所示求解过程 Cj 0 0 0 xi≤ xi≤ xi≤ xi≤ CB XB 6 x1 x2 x3 d1- d1+ d2- d2+ 0 x3 6 p1 d1- 2 0 d2- 6 cj - zj p1 p2 0 x3 5 0 x1 1 0 d2- 4 cj - zj p1 p2 0 x2 10 0 x1 6 0 d2- 24 1 0 1 0 0 0 0 [2 ] -1 0 1 -1 0 0 2 -3 0 0 0 1 -1 -2 1 2 1 0 [1/2 ] 1 -1/2 1/2 0 0 1 -1/2 0 1/2 -1/2 0 0 0 -2 0 -1 1 1 -1 0 1 1 1 0 1 2 -1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 4 -3 3 1 -1 cj - zj p1 0 1 1 1 p2 所以两个满意解为（1，0），（6，10）。Zmin=0
【例4】某种牌号的酒系由三种等级的酒兑制而成。已知各种等级酒的每天供应量和单位成本如下：
等级ⅰ：供应量1500单位/天，成本6元/单位； 等级ⅱ：供应量2000单位/天，成本4.5元/单位； 等级ⅲ：供应量1000单位/天，成本3元/单位； 该种牌号的酒有三种商标（红、黄、蓝），各种商标酒的混合及售价如表5.2所示。
表5.2 商 标 总制配比要求 单位售价/元 红 黄 蓝
为保持声誉，确定经营目标为： p1 兑制要求配比必须严格满足； p2 企业获取尽可能多的利润；
p3 红色商标酒每天量不低于2000单位。 试对该问题建立目标规划模型；
解 设j=1,2,3分别代表红、黄、蓝三种商标的离序号，则 Xij ——第i等级酒在第j种商标酒中所占数量； yj ——第j等商标酒的生产数量 可建立目标规划数学模型如下：
minz= p1 (d1- + d1+ + d2- + d2+ + d3- + d3+ + d4- + d4++ d5- + d5++ d6- + d6+)+ p2d7- + p3 d8- y1 = X11+X21 + X31
y2= X12+X22 + X32 （产量关系约束） y3 = X13+X23 + X33
ⅲ 少于10% ⅰ多于50% ⅲ 少于70% ⅰ少于20% ⅲ 少于50% ⅰ多于10% 5.5 5.0 4.8 X11+X12 + X13 ≤1500
X21+X22 + X23 ≤2000 （原料限制约束） X31+X32 + X33 ≤1000 p1 X 31+ d1- - d1+=10% y1
X 11+ d2- - d2+=50% y1 X 32+ d3- - d3+=70% y2
X 12+ d4- - d4+=20% y2 （配比限制） X 33+ d5- - d5+=50% y3 X 13+ d6- - d6+=10% y3
P2 5.5 y1 +5.0 y2+4.8 y3 + d7- - d7+ =5.5×4500 (利润限制) P3 y1 + d8- - d8+ =2000 (红色商标酒产量限制)
yj ≥0, Xij≥0, dk- ,dk+≥0,(i=1,2,3; j=1,2,3;k=1,2,3,…8) 【例5】已知某实际问题的线性规划模型为 max z=100 x1 +50 x2
10x1 +16 x2≤200 (资源1) 11x1 +3 x2≥25 (资源2) x1 ，x2≥0
假定重新确定这个问题的目标为： P1 ：z的值应不低于1900； P2：资源1必须全部利用。
将此问题转换为目标规划问题，列出数学模型。
解 这是将线性规划模型转化为目标规划模型的典型例子。转化后的模型为 max z= P1d2-+ P2 d1-
10x1 +16 x2+ d1- - d1+=200 11x1 +3 x2≥25
100x1 +50x2+ d2- - d2+=1900
x1 ，x2≥0，di- , di+≥0 (i=1,2)
【例6】已知目标规划问题
min z= p1 d1- + p2d2- + p3（5d3- + 3d4- ） + p4 d1+ x1 +2x2 + d1- - d1+ =6 x1 +2x2 + d2- - d2+ =9 x1 -2x2 + d3- - d3+ =4 x2 + d4- - d4+ =2
x1 ，x2≥0，di- , di+≥0 (i=1,2,3,4)
(a) 分别用图解法和单纯形法求解； (b) 分析目标函数分别变为①、②两种情况时（②中分析ω1 ，ω2 的比例变动）解的变 化。 ① min z= p1 d1- + p2d2+ + p3 d1++ p4（5d3+ + 3d4- ） ② min z= p1 d1- + p2d2+ + p3（ω1d3+ + ω2 d4- ）+ p4d1+
x2 5 4 3 2
d2+ d2- d1+ d1- d3- d4- A B d3+ d4+
1 0
2 4 6 8 x1
图5.2
解 （a）如图5.2所示，用图解分析可得出满意解为A(13/2,5/4)，zmin =3 p3 d4- + p4 d1+，其中 d4- =3/4,d1+ =-3。其单纯形算法的单纯形表如表5.3所示。
（b）①当目标函数变为minz= p1 d1- + p2d2+ + p3 d1++ p4（5d3+ + 3d4- ）时，图上分析，其满
意解应在B点。用单纯形法可做灵敏度分析，如表5.4所示。其满意解为x1 =5，x2 =1/2。 ③ 当目标函数变为minz= p1 d1- + p2d2+ + p3（ω1d3+ + ω2 d4- ）+ p4d1+ 时，用单纯 形 法做灵敏度分析，如表5.5所示。 可见，当
1、 ω1 / ω2≥1/4（ω1 ，ω2 ）0 ）时，满意解为，x1 =13/2，x2 =5/4。 2、 ω1 / ω2≤1/4（ω1 ，ω2 ）0 ）时，满意解为，x1 =5，x2 =2。
表5.3 Cj 0 0 p1 p4 0 p2 5p3 0 3 p3 0 CB XB 6 p1 d1- 6 0 d2- 9 5p3 d3- 4 3p3 d4- 2 cj - zj p1 p2 p3 p4 p1 d1- 2 0 d2- 5 5p3 d3- 8 0 x2 2 cj - zj p1 p2 p3 p4 0 x1 2 0 d2- 3 5p3 d3- 6 0 x2 2 cj - zj p1 p2 p3 p4 x1 x2 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ d4- d4+ 1 2 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 -1 0 0 0 0 1 -2 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 [1 ] 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -2 1 1 -5 7 5 3 [1 ] 0 1 -1 0 0 0 0 -2 2 1 0 0 0 1 -1 0 0 -2 2 1 0 0 0 0 0 1 -1 2 -2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 2 -2 1 -5 7 5 -7 10 1 0 1 -1 0 0 0 0 -2 2 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 1 -1 [4] -4 0 1 0 0 0 0 0 0 1 -1 1 5 -5 1 5 -17 20 1