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广东石油化工学院高州师范学院毕业论文
巧用圆锥曲线定义解有关最值问题
广东石油化工学院高州师范学院309数学（4）班 李国晓
【摘要】 圆锥曲线涉及到两大定义，圆锥曲线的第一定义和圆锥曲线的第二定义。巧用圆锥曲线的定义, 通过具体实例说明求最值的一些方法,如果能很好地理解和掌握圆锥曲线的定义，也能用它来解决很多代数问题。 【关键词】圆锥曲线 最值 目标函数
圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题, 它处于代 数与几何的交汇处。 如果能很好地
理解和掌握圆锥曲线的定义，也能用它来解决很多代数问题。圆锥曲线作 为高考必考内容, 当一道题目涉及到线段距离、圆锥曲线位置关系等等,而且又与焦点有关时，我们通常可考虑利用定义来求解。利用圆锥曲线定义求解的基本特点是解题思路比较简单, 规律性较强。而圆锥曲线的定义是由曲线上的点到焦点的距离来刻画的, 由此可对一些距离进行有效的转化, 因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时, 应先想到利用定义进行求解,这样会有事半功倍之效。 下面谈谈如何巧用圆锥曲线的定义来求最值问题。
一、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）第一定义在最值问题中的巧用
圆锥曲线的第一定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解。圆锥曲线中涉及到很多最值问题，如果方法不当，求解过程就很复杂。有些与焦点和准线有关的问题，从第一定义入手，就很容易解决问题，下面举例说明圆锥曲线中常见的最值问题。
圆锥曲线第一定义在求最值的一般形式：PA?PF的最值。其中，在曲线C（椭圆、双
曲线、抛物线）内一定点（异于焦点），P是曲线C上的一个动点，F是曲线C的一个焦点。 1.椭圆第一定义在最值问题中的巧用
椭圆第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a的动点M的轨迹叫椭圆，即
MF1?MF2?2a。
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例1：椭圆
x225?y29?1上一点P到两个焦点距离之积为m，求m的最大值，并求出当m取
得最大值时P点的坐标。
分析：此题求P点到两焦点之积，由不等式性质和椭圆第一定义，可转化为两距离之和来求解。 解：设椭圆
x225?y29?1的左右焦点分别为F1、F22,
PF1?PF2?10,
m?PF1PF2?PF1?PF???2?2?????25,当且仅当
PF1?PF2时取等号，此时点P为短轴的端点。
所以P的坐标为（0，3）或（0，-3）时，m的最大值为25。
当圆锥曲线中的最值问题涉及到圆锥曲线的焦点时，可以考虑应用圆锥曲线的定义解题。此题是动点到两焦点距离之积，从而联系了第一定义：动点到两定点距离之和等于定值2a。再结合不等式性质，把目标函数转化为容易求解的函数，从而问题得解。
例2：已知椭圆求
PA?PFx225?y216?1内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，
的最大值与最小值。
PA?PF 分析：目标函数第一定义，把
PF,考虑用普通方法比较难解，则我们可作适当转化，利用椭圆
PF?2a?PF?转化为与另一焦点有关的线段，即,再结合平面内三点共线
时有最值，而点P在线段延长线的不同侧时，会使目标函数取得最大值或最小值。
解：如图1，设椭圆的右焦点为F?，可知其坐标为F?（3，0），由椭圆的第一定义得：
PF?PF??10，则
PA?PF?10?PA?PF?AF??2，可知，当P为AF?的延长线与椭圆的交点
?PF?时，PA?PF?最大，最大值为，当P为F?A的延长线与椭圆的交点时，PA—2—
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最小，最小值为?AF???2。故
PA?PF的最大值为10?2，最小值为10?2。
本题中巧用第一定义解题：动点到两定点距离之和等于定值2a，两定点为焦点，a为长半轴，利用这定义，把所要求的目标函数中的一个焦半径转化为另一焦半径，考虑在什么情况下所求函数值最大，把目标函数转化为容易求解的函数。在把
PA?PF转化10?PA?PF?时，即转化为A、F?、P三点共线进行讨论，当P点在AF?延长线时，所求函数有最大值，当P点在F?A的延长线时，所求函数有最小值。注意在这类问题中，“和”与“差”中一个不可求，就用定义转化为另一个。正确地画出图形，利用平面几何知识，一般都可以解决问题。
2.双曲线的第一定义在最值问题中的巧用
双曲线第一定义：平面内点M与一定点F的距离和它到一定直线的距离的比是常数
e?ca，这个点 M的轨迹是双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e是
双曲线的离心率。
例3：已知双曲线线右支上的动点，求
x216?y29?1内有一点B?6,2?,F1、F2分别为双曲线左右焦点，P是双曲
PF2?PBPF2?PB的最小值。
，从一般方法来解比较困难，则我们可以从定义入手，利用
为平面内三点距离之和，当B,P,F1点
分析：目标函数为曲线第一定义，把
PF2转化为
PF1?8,而PB?PF1共线时有最小值。
解:如图2，由题意得F1(?5,0)、F2?5,0?，有双曲线的第一定义得
PF2?PB?PF2?PF1?8PF1?PF2?8 所以
，当p点在如图2位置时有最小值，当P点在如图2位置时有最
小值，即PF1?PB?BF1?(6?5)?222?55 ,所以
PF2?PB的最小值为5 5?8。
图2
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此题巧用双曲线的第一定义把 而问题得解。
PF2转化为
PF1?8，再结合平面几何知识进行分析，从
3.抛物线的第一定义在最值中的巧用 抛物线第一定义：平面内与一个定点点
和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，
不在定直线上。它与椭圆、双曲
叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点
线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线 例4：设P是y2?4x上的一个动点，求P点到A??1,1?的距离与p点到直线l：x??1的
距离d之和的最小值。
分析:此题中的l：x??1刚好是抛物线的准线，而点A在准线l上，由抛物线第一定义可
PA?PF把P到直线的距离转化为P到焦点F?1,0?距离，即所求距离转化为,而
PA?PF刚
好是三点距离之和，而在平面中，当三点共线即A、P、F三点共线时它们所得距离之和最 小。
图3
解：如图3，由抛物线第一定义得
AF?5PA?d?PA?PF,在平面中
5PA?PF?AF，又
,当A、P、F三点共线时取等号，即所求最小值为。
把动点到焦点的距离转化为动点到定直线的距离，从平面三点共线性质考虑得出最小值。
二、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）第二定义在最值问题中的巧用
圆锥曲线的第二定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求
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