发布时间 : 星期五 文章2020年高考数学（理）一轮复习讲练测 专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（讲） 含解析更新完毕开始阅读bc65ddeffac75fbfc77da26925c52cc58bd6902a
2020年高考数学（理）一轮复习讲练测 专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念． 2.能进行弧度与角度的互化．
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
知识点一 角的概念 1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类
??角的分类?象限角：角的终边在第几象限，这??按终边位置
?不同分类? 个角就是第几象限角
??轴线角：角的终边落在坐标轴上?
3．终边相同的角
?正角：按逆时针方向旋转形成的角
按旋转方向?
?负角：按顺时针方向旋转形成的角
不同分类?
?零角：射线没有旋转
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
知识点二 弧度制及应用 1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式
角α的弧度数公式 l|α|＝(弧长用l表示) r
角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式
知识点三 任意角的三角函数
三角函数 正弦 ①1°＝180?°π rad；②1 rad＝??π? 180弧长l＝|α|r 11S＝lr＝|α|r2 22余弦 正切 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 定义 y叫做α的正弦，记作sin α Ⅰ 各象Ⅱ 限符Ⅲ 号 Ⅳ － ＋ － － － ＋ ＋ － － ＋ x叫做α的余弦，记作cos α ＋ y叫做α的正切，记作tan α x＋ 三角函数线 有向线段MP为正弦线
考点一 象限角的判断
cos α
【典例1】（上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年期中）若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
tan αA．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C
cos α
【解析】由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由<0可知cos α，tan α
tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角。
【方法技巧】象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线
【变式1】（河南省驻马店市2018-2019学年期末） 已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A．第一象限 C．第三象限 【答案】B
?tan α＜0，?【解析】因为点P(tan α，cos α)在第三象限，所以?所以α为第二象限角。
?cos α＜0，?
B．第二象限 D．第四象限
考点二 扇形的弧长及面积公式的应用
【典例2】（江西省玉山县一中2018-2019学年期末）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的弧长为（ ）
A．4cm 【答案】C
【解析】由题意，设扇形所在圆的半径为R，则扇形的弧长为l?4R，所以l?2R?4R?2R?6R?12，解得
B．6cm
C．8cm
D．10cm
R?2，所以扇形的弧长为l?4?2?8cm，故选C。
【方法技巧】
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积的最大值时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【变式2】（陕西省渭南市临渭区2018—2019学年期末）已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( )
A．1cm2 【答案】C
【解析】因为扇形的圆心角α＝2弧度，它所对的弧长l＝4cm，
B．2cm2
C．4cm2
D．4?cm2
l可得：圆的半径R＝2， R112
所以扇形的面积为：S?lR??4?2?4cm；
22所以根据弧长公式|α|?故选C。
考点三 三角函数的定义
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－，－?. 【典例3】(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P?5??5(1)求sin(α＋π)的值；
5
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值。
1334－，－?， 【解析】(1)由角α的终边过点P?5??54
得sin α＝－. 5
4
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
5
34－，－?， (2)由角α的终边过点P?5??53
得cos α＝－.
5
512
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
1313由β＝(α＋β)－α，
得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 5616
所以cos β＝－或cos β＝. 6565
【方法技巧】三角函数定义解题的技巧
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解． (2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，根据定义中的两个量列方程求参数值． (3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． (4)已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
【变式3】(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若1
sin α＝，则sin β＝__________。
3
【解析】 (1)方法一 当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(22，1)，其关于y轴的对称点(－22，1
1)在角β的终边上，此时sin β＝；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2(－22，1)，其关于y轴的对
311
称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝.综合可得sin β＝. 33
1
方法二 令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sin β＝sin α＝. 31
【答案】
3
考点四 三角函数线的应用
︵︵︵︵
【典例4】(2018·北京卷)在平面坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tan α＜cos α＜sin α，则P所在的圆弧是( )
︵︵A．AB B．CD ︵︵C．EF D．GH 【答案】C
︵︵︵
【解析】当点P在AB 或CD 上时，由三角函数线易知，sin α＜tan α，不符合题意；当点P在GH 上时，tan α︵
＞0，sin α＜0，不符合题意；进一步可验证，只有点P在EF 上时才满足条件。
【方法技巧】利用三角函数线求解三角不等式的方法
对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集．
【变式4】（2019年山西省忻州市第一中学模拟） 函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________。 【解析】∵3－4sin2x>0，
333∴sin2x<，∴－ 422 利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ππ kπ－，kπ＋?(k∈Z)． ∴x∈?33??ππ kπ－，kπ＋?(k∈Z) 【答案】 ?33??