发布时间 : 星期日 文章全国通用高考数学总复习考前三个月压轴小题突破练5与向量有关的压轴小题理更新完毕开始阅读bc7e03b5b80d4a7302768e9951e79b8968026882
→→
所以MA·BA＝(x1－1)(x1－x2)＋y1(y1－y2) ＝(x1－1)x1－(x1－1)x2＋y1－y1y2
＝x1－x1＋y1－[(x1－1)(x2－1)＋y1y2＋(x1－1)] 12322
＝x1－x1＋1－x1－x1＋1＝x1－2x1＋2
444?223?
＝?x1－?＋，x1∈[－2，2].
3?34?
→→
所以当x＝－2时，MA·BA有最大值9， 42→→
当x＝时，MA·BA有最小值，故选C.
33
2
2
2
x2y2
10.设双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线
ab→→→
于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若OP＝λOA＋μOB(λ，
μ∈R)，λμ＝，则该双曲线的离心率为( )
A.
3223
B.2 C. D.2 23
1
8
答案 D
bc??bc??b2?b?解析 双曲线的渐近线为y＝±x，焦点F(c，0)，则A?c，?，B?c，－?，P?c，?，因a??a??a?a?bc?b→→→?b??为OP＝λOA＋μOB，所以?c，?＝??λ＋μ?c，?λ－μ??，所以λ＋μ＝1，λ－μ＝，
2
?a??a?
cc＋bc－b1c2－b21
解得λ＝，μ＝，又由λμ＝，得2＝，
2c2c84c8a21
解得2＝，
c2
所以e＝2，故选D.
→→
11.若点O，F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则OP·FP的最
43大值为______________. 答案 6
x2y2
xy→→22
解析 设P(x，y)，则OP·FP＝(x，y)·(x＋1，y)＝x＋x＋y，又点P在椭圆上，故＋＝
43
1，
321211222
所以x＋x＋3－x＝x＋x＋3＝(x＋2)＋2，又－2≤x≤2，所以当x＝2时，(x＋2)＋2
4444
22
5 / 7
→→
取得最大值为6，即OP·FP的最大值为6.
12.(2017·江西抚州市七校联考) 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a→→22
＋b－c＝3ab，且acsin B＝23sin C，则CA·CB＝________. 答案 3
解析 由a＋b－c＝3ab，得2cos C＝3，即cos C＝
2
2
2
2
3
，由acsin B＝23sin C，得2
abc＝23c，即ab＝23，CA·CB＝abcos C＝23×
→→
3
＝3. 2
x2y2
13.(2017届河南开封月考)过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c，0)(c＞0)，作
ab→→→
圆x＋y＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OP＝2OE－OF，则双曲线的
4
2
2
a2
离心率为________.
答案
10 2
→→→
解析 由OP＝2OE－OF，得 →
OE＝(OF＋OP)可知，E为PF的中点，令右焦点为F′，
则O为FF′的中点，PF′＝2OE＝a， ∵E为切点，
∴OE⊥PF，PF′⊥PF，|PF|－|PF′|＝2a，|PF|＝3a，|PF|＋|PF′|＝|FF′|， 则10a＝4c，e＝2
2
2
2
2
1→2
→
10. 2
→→→
14.(2017·北京市丰台区二模)已知O为△ABC的外心，且BO＝λBA＋μBC. ①若∠C＝90°，则λ＋μ＝______________；
②若∠ABC＝60°，则λ＋μ的最大值为______________. 12答案
23
11→1→
解析 ①若∠C＝90°，则O为AB边的中点， BO＝BA，即λ＝，μ＝0，故填.
222→→→
②设△ABC的三边长分别为a，b，c，因为O为△ABC的外心，且BO＝λBA＋μBC，
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→→→→→??BO·BA＝λBA2＋μBA·BC，所以?
→→→→→??BO·BC＝λBA·BC＋μBC2，11λc＋μa＝c，??22
化简得?11
λc＋μa＝a，??22
11
c＝λc＋μac，??22即?11
a＝??22λac＋μa，
2
2
2
2
2aλ＝－，??33c解得?2cμ＝??3－3a，
4?ac?422
则λ＋μ＝－?＋?≤－＝，当且仅当△ABC为等边三角形时“＝”成立.
3?3c3a?333
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