发布时间 : 星期四 文章一元二次方程复习题（知识点梳理）打印版更新完毕开始阅读bc81e2c5a300a6c30d229fc6
考点一、概念 (1)定义：
含有_______未知数，并且未知数的最高次数是______的______方程，就叫做一元二次方程。
(2)一元二次方程的一般表达式：
其中_______是二次项，________是二次项系数；ax2?bx?c?0(a?0)，
________是一次项，________是一次项系数；__________是常数项。 ⑶判断一元二次方程的依据：
①二次项系数不为“0”；②未知数最高次数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题：
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
112A 3?x?1??2?x?1? B 2??2?0
xxC ax2?bx?c?0 D x2?2x?x2?1
例2、方程?m?2?xm?3mx?1?0是关于x的一元二次方程，则m的值为 。 针对练习：
1、方程8x2?7的一次项系数是 ，常数项是 。 考点二、一元二次方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：
例1、已知2y2?y?3的值为2，则4y2?2y?1的值为 。
例2、关于x的一元二次方程?a?2?x2?x?a2?4?0的一个根为0，则a的值为 。 针对练习：
1、已知方程x2?kx?10?0的一根是2，则k为 ，另一根是 。
x?1?3的解相同。 2、已知关于x的方程x2?kx?2?0的一个解与方程
x?1⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。
3、已知m是方程x2?x?1?0的一个根，则代数式m2?m? 。 4、方程?a?b?x2??b?c?x?c?a?0的一个根为（ ）
A ?1 B 1 C b?c D ?a 考点三、一元二次方程的解法
⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次
222（一）直接开方法：形如?x?a??b(b?0)，?ax?m???bx?n?等形式均适用直接开方法
典型例题：
2例1、解方程：?1?2x2?8?0; ?2?25?16x2=0; ?3??1?x??9?0;
22例2、若9?x?1??16?x?2?，则x的值为 。 针对练习：
下列方程无解的是（ ）
2A.x2?3?2x2?1 B.?x?2??0 C.2x?3?1?x D.x2?9?0（二）（二）因式分解法：?x?x1??x?x2??0?x?x1,或x?x2 方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， 方程形式：如?ax?m???bx?n?，?x?a??x?b???x?a??x?c? ， x2?2ax?a2?0 典型例题：
例1、2x?x?3??5?x?3?的根为（ ）
525A x? B x?3 C x1?,x2?3 D x?
2522例2、若?4x?y??3?4x?y??4?0，则4x+y的值为 。
22变式1：a2?b2?a2?b2?6?0,则a2?b2? 。 变式2：若?x?y??2?x?y??3?0，则x+y的值为 。 例3、方程x2?x?6?0的解为（ ）
A.x1??3，x2?2 B.x1?3，x2??2 C.x1?3，x2??3 D.x1?2，x2??2 针对练习：
1、下列说法中：
①方程x2?px?q?0的二根为x1，x2，则x2?px?q?(x?x1)(x?x2)； ②?x2?6x?8?(x?2)(x?4)；③a2?5ab?6b2?(a?2)(a?3) ④x2?y2?(x?y)(x?y)(x?y)
⑤方程(3x?1)2?7?0可变形为(3x?1?7)(3x?1?7)?0 正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、以1?7与1?7为根的一元二次方程是______________。
A．x2?2x?6?0 B.x2?2x?6?0 C．y2?2y?6?0 D．y2?2y?6?0 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数____________。
14、方程：x2?2?2的解是 。
x（三）配方法
通过配成_________来解一元二次方程的方法叫做配方法。配方是为了_________，把一个一元二次方程转化____________为来解。
配方法的一般步骤：①把常数移到等号的右边；②把二次项的系数化为
???2?
1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方。
在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题：
例1、 试用配方法说明x2?2x?3的值恒大于0。
例2、 已知x、y为实数，求代数式x2?y2?2x?4y?7的最小值。
已知x2?y2?4x?6y?13?0，x、y为实数，求xy的值。 针对练习：
111已知x2?2?x??4?0，则x?? .
xxx类型四、公式法
通过对ax2?bx?c?0?a?0?进行配方，可以得到求根公式：
?b?b2?4ac,a?0,且b2?4ac?0 x?2a典型例题：
例1、选择适当方法解下列方程：
2⑴3?1?x??6. ⑵?x?3??x?6???8. ⑶x2?4x?1?0
⑷3x2?4x?1?0 ⑸3?x?1??3x?1???x?1??2x?5?
考点四、“降次思想”的应用：⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。 典型例题：
3?x?1??x2?12例1、 已知x?3x?2?0，求代数式的值。
x?1
例2、 如果x2?x?1?0，那么代数式x3?2x2?7的值。 例3、用两种不同的方法解方程组
(1)?2x?y?6, ?22(2)?x?5xy?6y?0.说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题。 考点四、根的判别式：??b2?4ac
当??0时，方程有两个不相等的实数根；当??0时，方程有两个相等的实
??
数根；当??0时，方程没有实数根；
根的判别式的作用：
①判断方程根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。 典型例题：
例1、若关于x的方程x2?2kx?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
例2、关于x的方程?m?1?x2?2mx?m?0有实数根，则m的取值范围是( )
A.m?0且m?1 B.m?0 C.m?1 D.m?1 例3、已知关于x的方程x2??k?2?x?2k?0 (1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰?ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC的周长。
针对练习：
1、当k 时，关于x的二次三项式x2?kx?9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式3x2?4x?2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
?y?kx?2,3、k为何值时，方程组?2
?y?4x?2y?1?0.（1）有两组相等的实数解，并求此解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解.
考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题：
例1、关于x的方程?m?1?x2?2mx?3?0。⑴有两个实数根，则m为 ;⑵只有一个根，则m为 。
例2、不解方程，判断关于x的方程x2?2?x?k??k2??3根的情况。
例3、如果关于x的方程x2?kx?2?0及方程x2?x?2k?0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。
考点六、应用解答题
⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题 典型例题：
1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴
共有多少人出席？
2、已知两个数的差是8，积是209，求这两个数.
3、某市市政府计划两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中市财政净收入的平均年增长率应为多少？(精确到0.1%)
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
6、学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽。
考点七、根与系数的关系
⑴前提：对于ax2?bx?c?0而言，当满足①a?0、②??0时，才能用根与系数的关系（韦达定理）。
0a?0）⑵根与系数的关系：若x1，x2是方程ax2?bx?c?（的两个根，则
bcx1?x2??,x1x2?。
aa⑶应用：整体代入求值。 典型例题：
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2?8x?7?0的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）
A.3 B.3 C.6 D.6 例2、已知关于x的方程k2x2??2k?1?x?1?0有两个不相等的实数根x1,x2， （1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？
例4、已知a?b，a2?2a?1?0，b2?2b?1?0，求a?b?
ab变式：若a2?2a?1?0，b2?2b?1?0，则?的值为 。
ba