发布时间 : 星期二 文章[步步高]2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习学案：学案11 函数与方程更新完毕开始阅读bcc9fa18e45c3b3567ec8bfd
学案11 函数与方程
导学目标： 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．
自主梳理
1．函数零点的定义
(1)对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点． (2)方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与____有交点?函数y＝f(x)有________． 2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个____也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ<0 Δ＝0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
________， ________ 与x轴的交点 无交点 ________ ________ ________ ________ 零点个数 4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度ε； 第二步，求区间(a，b)的中点c； 第三步，计算______：
①若________，则c就是函数的零点；
②若________，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]； ③若________，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]；
第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．
自我检测
2??x＋2x－3，x≤0
1．(2010·福建)f(x)＝?的零点个数为 ( )
?－2＋ln x x>0?
A．0 B．1 C．2 D．3 2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点 ( ) A．至少有一个 B．至多有一个 C．有且只有一个 D．可能有无数个
3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )
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A．①② B．①③ C．①④ D．③④
4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根所在的区间是 ( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定 5．(2011·福州模拟)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是 ( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－0.5)
探究点一 函数零点的判断
例1 判断函数y＝ln x＋2x－6的零点个数．
变式迁移1 (2011·烟台模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是 ( )
A．多于4个 B．4个 C．3个 D．2个 探究点二 用二分法求方程的近似解
例2 求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．
1
x＋?的零点时，第一次经变式迁移2 (2011·淮北模拟)用二分法研究函数f(x)＝x3＋ln??2?计算f(0)<0，f??>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为
1?1?0，? f?? A.??2?2
( )
?1??2???1??3?，1 f?? C.??2??4?1?
B．(0,1) f??2? 1?1?0，? f?? D.??2??4?探究点三 利用函数的零点确定参数
例3 已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有
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零点，求a的取值范围．
变式迁移3 若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值范围．
1．全面认识深刻理解函数零点：
(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；
(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；
(3)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点； (4)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点． 2．求函数y＝f(x)的零点的方法：
(1)(代数法)求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；
(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；
(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)·f(b)<0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
3．有关函数零点的重要结论：
(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点； (2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·天津)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
1?x
2．(2011·福州质检)已知函数f(x)＝log2x－?若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0 A．恒为负 B．等于零 C．恒为正 D．不小于零 3．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 ( ) 第 3 页 共 9 页 4．函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1、x2，且x1 ??4x－4， x≤1 5．(2011·厦门月考)设函数f(x)＝?2，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x) ?x－4x＋3，x>1? 的零点个数是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 006x＋log2 006x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________． 7．(2011·深圳模拟)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________． 8．(2009·山东)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． 三、解答题(共38分) x1 9．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋＋. 24 1 证明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0. 2 10．(12分)已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)>0，求实数p的取值范围． a 11．(14分)(2011·杭州调研)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求证： 2 b3 (1)a>0且－3<<－； a4 (2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点； 57 (3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则2≤|x1－x2|<. 4 答案 自主梳理 1．(1)f(x)＝0 (2)x轴 零点 2.f(a)·f(b)<0 (a，b) f(c)＝0 c 3.(x1,0) (x2,0) 第 4 页 共 9 页