发布时间 : 星期五 文章李庆扬-数值分析第五版第5章与第7章习题答案更新完毕开始阅读bd4cab377a3e0912a21614791711cc7931b778e9
f[x ,x ]
1
2
f [x ,x ] 16 10
0
1
f[x , x ,x ]
0
1
2
6，
x
x
0
16 6(2 3) 10 ，
2 1 2
1
x
3
2
1
2 10
76 10
1.9465745，下略。
2
10
4 1 6
8. 分别用二分法和牛顿法求 x tan x 0的最小正根。
解：0 是函数的一个根， 0～ 时，x 单调递增， tanx 单调递减，趋于负无穷。
2
在此区间内，函数没有根。所以，最小正根大于
. 2
3 当 x 接近且大于 时，函数值为正， 当 x 接近且大于 时，函数值为负。 因此， 2 2
3
最小正根区间为（
,
2
2
）, 选择 x1=2, 函数值为 -0.185<0, 选择 x2=4.6 ，函数
值为 4.260>0
* 按二分法计算，略， x 4.493424 。
按牛顿迭代法，其迭代公式为
x
x
k 1
tan x f (x )
k
k k
x
k
x
k
f x ( )
k
c x ，取初始值 x=4.6 ，得 1 tan
*
4.493424
x
k
1
15.
a ( x
k
研究求 a 的牛顿公式
x
k 1
), x
0
0 ，证明对一切 k 1, 2, ，
2 x
k
xk 证：
a 且序列 x1, x2 , 是递减的。
2
1
显 然 ， x
k
(x
a )
a
a)
0
， 所 以
x
0 ， 又因 为
x
k 1
a (x
k
k
2 x
k
2
2
k
1
xk
，又
a, k 1,2, x
k 1
a ) x
k
a x
k
x
k
( x
k
0
，所以序列是递
x 2
k
2 x
k
减的。
16.
对于 f (x) 0的牛顿公式
k
x
1
k
x
2
f (x ) / f (x )
，证明
k
k
*
R
k
( xk xk 1) /( xk
1
xk )
2
* f x*
x 为 f (x) 0的
收敛到 f (x )/(2 ( )) ，这里 根。
证：
2
R
k
( x
k
x ) / ( x
k 1
k 1
k 1
k 1
x )
k 2
f ( x ) / f ( x )
( f (x ) / f (x ))
k 2
2
k 2
2
R
k 1
(x
k 1 k
x ) / (x
k
k k
2
x )
k 1
f (x ) / f (x )
( f (x ) / f (x ))
k 1
k 1
f (x ) / f (x )
k
k
2
f ( x ) / f (x )
k 1
k 1
2
R
k 1
R
k
k 1
k 1
( f (x ) / f (x )) ( f (x ) / f (x ))
k 2
k 2
2
17. 用牛顿法（4.13 ）和求重根迭代法 （4.14）计算方程
f (x)
sin x
x
0 的 一个近似根，准确到
5
10 牛顿法（ 4.13），m=2。
f (x )
k
x
x
m x
k 1
k
k
f (x )
k
，初始值 x0
。2
2
x
k
sin
x
k
2 x
k
sin x
cos x
k
k
2
1
2
2
5 需要计算到 10 ，取
3.1415926 。 x*
(7)
x 1.8955
求重根迭代法（ 4.14）
x
k 1
f (x ) f (x )
k
k
x
k
k
2
)
k
2
[ f (x )] f (x ) f (x
k
sin x 0.5 x
2 sin x 0.5 x cos x 0.5
5
需要计算到 10 ，取
2 sin x 0.5 x cos x 0.5
2
2
sin x 0.5 x
x(13)
2sin x cos x 0.5 1.8955 。
3.1415926 。x*
注：matlab 编程计算得出的结果。
3
a
0
18. 应用牛顿法于方程
x
3 a 的迭代公式， 并讨论其收敛
，导出求立方根
性。
3
f ( x )
k
x
k
a 1
2x
k
2
a
x
k 1
x
k
x
k
2
f ( x )
k
3x
k
3
a
2x
k
2
x
k
f (x )
k
1 x
k
x
k 1
x
k
x
k
x
k
f (x )
k
3 x
k
a
2
x
k
3
a x
k
2
3x
k
3 3x
k
3
3
a x
k
当 x
0
a 时， x
1 k
x
2
k
0
3x
k
，说明迭代数列递增。
3 k
3
x
1 k
k
a x
2
当 x
0
a 时， x
0
3
x
k
，说明迭代数列递减。
3
因此，迭代公式
x
k 1
f ( x )
k
x
k
a 1
2x
2
k
a
2
是收敛的。
x
k
x
k
f ( x )
k
3x
k
3 x
k
a