发布时间 : 星期日 文章2018年中考数学真题分类汇编(第二期)专题42综合性问题试题(含解析)更新完毕开始阅读bd4dc7299a89680203d8ce2f0066f5335b8167f3
④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为；
⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，点F到直线AB的距离为
．
其中正确的是 ①③④ ．（写出所有正确判断的序号）
【分析】依据AB=AD=5，BC=CD，可得AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；依据四边形ABCD的面积S=
，
故②错误；依据AC=BD，可得顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则r=（r﹣3）+4，得r=
2
2
2
，故④正确；连接AF，设点F
到直线AB的距离为h，由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，依据S△BDE=×BD×OE=×BE×DF，可得DF=
，进而得出GF=，再根据S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF，即可得到h=
，故⑤错误．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD， ∴AC是线段BD的垂直平分线，故①正确； 四边形ABCD的面积S=
，故②错误；
当AC=BD时，顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确； 当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则 r=（r﹣3）+4， 得r=
，故④正确；
2
2
2
将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，如图所示， 连接AF，设点F到直线AB的距离为h，
由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4， ∴AO=EO=3，
∵S△BDE=×BD×OE=×BE×DF， ∴DF=
=
，
∵BF⊥CD，BF∥AD， ∴AD⊥CD，GF=
∵S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF， ∴×5h=（5+5+）×解得h=
，故⑤错误；
﹣×5×
，
=，
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是利用图形面积的和差关系进行计算．
2. （2018?江苏宿迁?3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
（x＞0）与正比例函数y=kx、
（k＞1）的图象分别交于点A.B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是________.
【答案】2
【分析】作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB（如图），设A（x1，y1），B（x2 ， y2），根据反比例函数k的几何意义得x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与y=kx，y=联立，解得x1=，x2=
，从而得x1x2=2，所以y1=x2， y2=x1，
根据SAS得△ACO≌△BDO，由全等三角形性质得AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定义和已知条件得∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，根据AAS得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，根据三角形面积公式得S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2. 【详解】如图：作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB，
设A（x1，y1），B（x2 ， y2）， ∵A.B在反比例函数上，∴x1y1=x2y2=2， ∵
，解得：x1=，
又∵，解得：x2=，∴x1x2=×=2，∴y1=x2， y2=x1，即OC=OD，AC=BD，
∵BD⊥x轴，AC⊥y轴，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴△ACO≌△BDO（SAS）， ∴AO=BO，∠AOC=∠BOD，
又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB，∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2， 故答案为：2.
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键.
3.（2018?江苏宿迁?3分）如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为（1，0），将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.
【答案】+π
【分析】在Rt△AOB中，由A点坐标得OA=1，根据锐角三角形函数可得AB=2，OB=，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：
S=
【详解】在Rt△AOB中，∵A（1，0），∴OA=1，
又∵∠OAB＝60°， ∴cos60°=
，
，计算即可得出答案.
∴AB=2，OB=，
∵在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变， ∴点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积： S=
故答案为：
π.
=
π，
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题的关键.
4.（2018?江苏无锡?2分）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是 2≤a+2b≤5 ．
【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论． 【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H，
∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a， Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH=EP=a，∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH， 当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；