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第3章 单自由度系统强迫振动
3.8 图3-8所示简支梁中间放一台重为2 kN的电机，其中转子重0.4 kN，偏心距e=0.02 cm，电机静作用时的挠度δA st=2 cm，若电机的转速为1450 rpm，试求：电机稳态强迫振动的振幅(略去梁的质量)。
【解：固有频率?n?2k??nm?100000，
A l/2 Q ωt l/2 B 题 3-8图
g?st?22.14，等效弹性系数
2000400??n???n????kx???kx?188sin?152t? xt?，即：204.1?振动方程x??esin?g9?30?30??2振幅为X0?F0??2?k?1?2???n??4.09?10?5m。】
3.22 题3.22图所示系统，m＝9800 kg，k＝966280 N/m，在质量块上作用有激振力Q?4900sin簧固定端有支撑位移xB?0.3sin应。
???Q?k(x?xB)，即mx???kx?Q?kxB?4900sin【解：振动方程mx?2t N，在弹
题3.22图
?4t cm，求系统的稳态响
?2t?0.003ksin?4 t，
固有频率?n?k???9.93，频率比r1??0.158,r2??0.079， m2?n4?n4900?0.003k???sint?sint?0.52sint?0.302sintcm】
k(1?r12)2k(1?r22)424响应为x?x1?x2?3.23 机器重4410N，支撑在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5 cm，机器有一偏心重，?2产生偏心激振力Q?2.254 N，?为激振力频率，g为重力加速度，不计阻尼。求（1）
g在机器转速为1200 r/min时传入地基的力；（2）机器的振幅。
?24410???kx?42.254sin?t，k?【解：振动方程mx?882000，
g0.005固有频率?n?k?44.27。 m2.254??n???2.84， ??3630，频率比r1?（1）偏心激振力Q?2.254??g?ng?30??22传入地基的力为F?kxmax?k（2）X0?3630?514.4N
k(1?r2)3630?5.83?10?2cm】 2k(1?r)3.24 弹簧质量系统，m＝196 kg，k＝1.96×105 N/m，作用在质量上的激振力为Q?156.8sin10t，阻尼系数为627.2 Ns/m。求（1）质量块的振幅及放大因子；（2）如果把激振频率调整为5 Hz，放大因子为多少；（3）如果把激振频率调整为15 Hz，放大因子为多少；（4）若忽略阻尼，上面3种情况的放大因子又是多少，由此说明阻尼对振幅的影响。
【解：固有频率?n?kc?31.6，阻尼比???0.051 m2m?n（1）频率比r?F0??0.000888m， ＝0.316，振幅X0??nk(1?r2)2?(2?r)21?1.11
放大因子R?(1?r)?(2?r)222（2）r?1??9.8 ＝0.990，R?222?n(1?r)?(2?r)1??0.128 ＝2.97，R?222?n(1?r)?(2?r)（3）r?（4）1.11，51.8，0.128】
3.31 题3.31图示钢梁，自由端物块重量为3000 N，I?1.68?10?6m4，E＝210 GPa，A端支座按正弦波y?3sin30tmm作微小振动，梁质量不计，求物块稳态振
动振幅。
【解：利用材料力学公式求出C处的静位移
题3.31图
3000EI3000?0.933000?0.9?1.83000?0.93??483950.6 ，则k??st???0.9?3?0.93EI3EIEIst固有频率?n?k?39.76。 m设C处的相对位移为y1，方程为
1mm??)?mg?k(y1??st)，即my??1?ky1??????2.7sin30t yy2222.7m2.7?3000??0.00198m， 相对振幅为Y1?222k(1?r)2gk(1?302/?n)?1?m(?y因此总振动幅度为Y?Y1?0.5ymax?0.00198?0.003?0.5?0.00348m＝3.48mm】 3.32 题3.32图示钢梁，物块重量为60 kN，I?1.46?10?5 m4，E＝210 GPa， 端支座有脉动力矩M?1000sin0.9?nt Nm作用，梁质量不计，求物块稳态振动振幅。
答: 0.996 mm。
第4章 单自由度系统振动理论的应用
4.1 求题4-1图所示系统的固有频率。设(1)悬臂梁的质量可忽略不计；(2)悬臂梁的等效弹性系数分别为k1和k2。
4.2 求题4-2图所示系统的固有频率，假定滑轮质量不计。
x k1 k1 k3 k4 m x
题 4-1图
题 4-2 图
题 4-3 图
k2 m x
k1 m1 k2 JA k m a b 【解法1】通过计算静变形求解。 设对应于k1，k2的静变形为?1，?2，则
2mg?k1?1?k2?2，?st?2?1?2?2
?11?g??。 即?st?4mg???，固有频率?n??kkst2??1【解法2】利用牛顿定律。 ???mg?F， 设绳拉力为F，则mx而：k1(x1??1)?k2(x2??2)?2F，x?2x1?2x2 再利用解法1的结果2mg?k1?1?k2?2， 求得：x1?k2k1k1k2x，x2?x，F?mg?x
2(k1?k2)2(k1?k2)4(k1?k2)keqk1k2x?0，固有频率?n???1/s。
4(k1?k2)meq???则振动方程为：mx【解法3】利用机械能守恒。
取静平衡位置为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点。
12? T?mx211V??mgx?k1(x1??1)2?k2(x2??2)2
22利用前面解法1和解法2求出的x1,x2,?1,?2有