发布时间 : 星期五 文章陈正伟-2016年《投入产出分析（本科）》重点习题（下）更新完毕开始阅读be421dcca8114431b80dd820
2016年《投入产出分析技术》重点练习题
（下） 解 答
重庆工商大学 陈正伟 2016年5月20日
（版权所有：陈正伟）
六、 计算与证明（每题10分，共30分）
(计算题中间过程保留4位小数，结果保留2位小数。）
1.证明： 已知 B?A?A2?A3?A4????Ak??； Ak?0(k??)。
证明：B＝(I?A)?1?I
证明：
B?A?A2?A3????Ak??B?I?I?A?A2?A3????Ak??而（I?A)(I?A?A2????Ak??)?I?Ak(k??)?I因此，我们得到
B?I?(I?A)?1?B?(I?A)?1?I 。
证毕。
2.已知：中间消耗系数
acj、劳动报酬系数
avj、其它增加值系数
amj，
试证：
acj?avj?amj?1 (j?1,2,?,n)，并说明经济意义。
a?xijicj?;ajvj?V;amj?mj证明：
XjXjXjx?V
ijj?mjaaicj?vj?amj??X?XjjX?1j证毕。
这一结论表明的是，一定时期内生产过程中产品价值的形成过程或组成部分。?3.已知B＝A＋AB，B＝(I?A)1存在；证明：B＝(I?A)?1－I。
比较B与(I?A)?1的区别并说明经济解释。
1
证明：已知：B＝A＋AB 有（I-A）B=A
（I-A）B=A+I-I=I-（I-A）；
?1?1(I?A)(I?A)因为 存在。 所以：上式两边同乘以
有B=(I?A)-I 证毕。
?1(I?A)上述证明过程表明，B与B＝比较，B的主对角线元素是在B
?1的主对角元素上加1，其它元素完全相同。
4.已知一投入产出表，其直接消耗系数矩阵为：
?1?8A??0??1?601801?4?1?4?1?6?
其最终产品列向量为：
求总产出向量X，并根据所给出的条件，绘制简单实物(价值）投入产出表，求出其完全消耗系数矩阵。
0 0.25? 0 0.3636?0.125?1.2121?? 所以： (I?A)?1??0.06926? 解：因为A??0 0.125 0.25 1.1428 0.3636??????? 0 0.1667 0 1.2727??0.1667??0.24242? 根据：X?(I?A)?1Y 知：
X?(I?A)?1?50???Y??30??20????50??67.87879?????*?30???45.02165?????2037.57576????
根据投入产出表的关系：等到：
投入产出表：实物表为： I/O 1 1 8.484848 2 0 3 11.31313 价值型表为： I/O 1 1 8.484848 2 0 3 11.31313 N 48.08081 X 67.87879 其完全消耗系数矩阵为： B?(I?A)?12 0 5.627706 0 2 0 5.627706 0 39.39394 45.02165 3 Y 9.393939 9.393939 6.262626 3 Y 9.393939 9.393939 6.262626 12.52525 37.57576 X 50 67.87879 30 45.02165 20 37.57576 X 67.87879 45.02165 37.57576 150.4762 50 30 20 100 ?I?? 0 0.3636?0.2121?? 0.06926 0.1428 0.3636????0.24242 0 0.2727??
5.试证明完全劳动消耗系数的计算公式为：
2
?1B?A(B?I)或者是B?A(I?A)vvv v
BB?(bv1,bv2,?,bvn)；
其中，v——完全劳动消耗系数行向量，vAA?(a01,a02,?,a0n)。 v——直接劳动消耗系数行向量，v 证明：设bvj?avj??ai?1nviijb(j?1,2,vn)
即；有矩阵式，Bv?Av?AvB?Av(I?B) 故：Bv?Av(I?A)?1?AvB
证毕。
6.已知某地区的完全消耗系数矩阵B=?系数。
?0.2121 0 0.3636??；计算影响力系数和感应度0.06926 0.1428 0.3636????0.24242 0 0.2727?? 0 0.3636?1.2121????1 1.1428 0.3636解：由： B?(B?I)?(I?A)?0.06926??；
? 0 1.2727??0.24242?根据影响力系数公式有：Fj??bnn1bij??nj?1i?1iji?1nn(j?1,2,...n)
?b 感应度系数： Ej?j?1ij1nnbij??nj?1i?1(i?1,2,...n)
所以：
影响力系数： 0.979592 0.734694 1.285714 感应度系数： 1.012987 1.012987 0.974026
?1(I?A)7. 试证：的存在性。
证明：
（1）根据直接消耗系数的定义，
aij表示每生产单位j部门产品，要消耗i部门产品的
ij数量，那么有 (i,j?1,2,?,n) 因此，矩阵A是一个非负矩阵。
（2）在直接消耗系数矩阵A中，每一列的合计数，是每一部门单位产品价值中属于对各
0?a?1部门产品的中间消耗所占的比重，即部门中间消耗系数
acj(j?1,2,?,n)。
?ai?1nij?nj?1 (j?1,2,?,n)
其中
nj——为增加值所占总产出的比重或称新创造价值系数，
3
， i?1 (j?1,2,?,n)
亦即各部门中间消耗系数小于1。
（3）在矩阵(I?A)中，每一列的合计数就是增加值所占总产出的比重，即各部门单位产品价值中扣除中间消耗后的剩余部分，如果将中间消耗分成二部分，则有
?0?nj?1?anij?1ajj??aij??aiji?ji?jn (j?1,2,?,n)
由于部门中间消耗系数
?ai?1nij?1，所以有
ajj??aij?1i?j或 (j?1,2,?,n)
上式的经济意义是，每个部门单位产品价值中，扣除了对本部门产品的消耗后，应大于对其它部门产品的中间消耗。
i?j1?ajj??aij有了上面的三个结果（条件）：定义就可以证明证毕。
0?aij?1，
?ai?1nij?1和
1?ajj??aiji?j，我们根据有关的数学
?1I?A?0，亦即(I?A)的逆矩阵存在。因此，X?(I?A)Y的解存在。
?1(I?A)8.试证：Y的非负性。
证明：
?(I?A)?1?I?A?A2???0?12?X?(I?A)Y?(I?A?A??)Y?0 又
或者，
?B?(I?A)?1?I 故有
?bij?0,bii?1
?1(I?A)?0
?1Y?0X?(I?A)Y?0 证明完毕。 所以， 则有
参考资料
1.陈正伟 《投入产出分析》简明教程 重庆工商大学 2008.10 2.陈正伟《投入产出技术及应用》西南财经大学出版社2013,1
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3.陈正伟 《投入产出分析》PPT教材。
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