12-13-1高等数学A1期末试卷B答案及评分标准 联系客服

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淮 海 工 学 院

12 – 13 学年 第 1 学期 高等数学

二 1 2 3 4 二、计算题(本大题共4小题,每题7分,共28分)

1A1 期末试卷(B闭卷)

答案及评分标准 三 四 五 六 七 总 分 核分人 1. lim(e?x)x?0xx2.

x2解:原式?ex?0xlimln(ex?x)?ex?012limex?x?1x2---------------------------------------4

题号 一 L'Hlime?1x?02x?e?e.---------------------------------------------3

分值 32 7 7 7 7 8 8 8 8 8 100 得分 一、选择题(本大题共12小题,仅作前八题,每题4分,共32分) 1. limsinxx??2x?---------------------------------------------------------------------------------- (A) (A) 0 (B) 12 (C) 1 (D) ?

2. 当x?0,1?x2?1是关于x2的--------------------------------------------------------(C) (A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶非等价无穷小 (D)等价无穷小 3.设f(x?3)?3x,则f?(x)?--------------------------------------------------------------- (B) (A)3x?3 (B) 3x?3ln3 (C)3x?3 (D) 3x?3ln3

14.当x???,x4,4x,x4,ln4x趋于无穷大速度最慢的是-----------------------(D)

1 (A) x4 (B)4x (C) x4 (D) ln4x

5.设f?(x)?g5(x), g'(x)>0,则必有f(x)在(??,??)内为------------------(C) (A)单调增 (B)单调减 (C) (上)凹的 (D)(上)凸的 6. ?xdlnx?------------------------------------------------------(B)

(A)

x?C (B) 2x?C (C) x3?C (D) 23x3?C 7.下列积分值不为零的是---------------------------------------------------------------------(A) (A)

?1cos7xdx (B)

?1xcos7xdx (C) ?171?1?1?1xcosxdx (D) ??1x7cosxdx

8. 设连续曲线y?f(x)与x?a,x?b及x轴围成三块面积S1,S2,S3,其中S1,S3

在x轴上方,S2在x轴下方,若Sb1?S3?a?S2?b,则

?af(x)dx?---------------(D)

(A) ?(a?b) (B) a?b (C) b?a (D) a?b

2. 设y?y(x)是由cos(xy)?(x?1)e2x?y?2所确定的隐函数,求dydxx=0.

解:?sin(xy)(y+xy')?e2x?y?(x+1)e2x?y(2?y')?0,

-------------------------------4 将x?0,y?0代入上式得y'(0)?3.--------------------------------------------------3 3.

?1dx.

(x2?1)3x?tant解:sec2t1 原式??(tan2t?1)3dt??sectdt------------------------------------------4 ??costdt?sint?C?x1?x2?C.(缺C扣1分)---------------3

4.

?3ln(x?1)2x2dx. 解:原式???3ln(x?1)d12x----------------------------------------------------------------1 ??[131xln(x?1)]32??2xdln(x?1)-----------------------------------------2

??1311313ln2??2x(x?1)dx??3ln2??2(x?1?1x)dx---------------2 ??1x?3ln2?[ln1x]352?3ln2?ln3---------------------------------------2

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三、计算题(本题8分)

设f(x)在[0,3]上二阶导数连续,f(0)?f(3),f?(3)?1,求解: 原式?六、计算题(本题8分)

?10 3xf??(3x)dx.设f(x)连续,且f(0)?0,f?(0)?4,又F(x)??x0(x2?t2)f(t)dt,

?10xdf'(3x)?xf'(3x)??f'(3x)dx-----------------------------------4

010111 ?f'(3)?f(3x)0-------------------------------------------------------------2

3?求limx?0x0F(x)dtx5.

解:F(x)?x2?x则F?(f(t)dt??t2f(t)dt ,x)?2x?f()tdtxx ----------2

?1?13?f(3)?f(0)??1.-----------------------------------------------------2

四、计算题(本题8分)

记y2?x与x?y?2?0所围成的平面区域为D, (1)求D的面积S;

(2)求D绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积Vx.

)联立方程组??y2解:(1?xx?y?2?0,得交点(1,?1),(4,2)----------------------------2

?S??2?1(y?2?y2)dy?[y22?2y?y33]29?1?2-------------------------------------3

(2)Vxdx?13??22?(4?2)??[x22]4816x???400?3??3?.--------------3

五、证明题(本题8分)

若a?3,求证:方程x3?ax2?3x?c?0有唯一实根. 解:令f(x)?x3?ax2?3x?c,

易知 xlim???f(x)???,xlim???f(x)???----------------------------------------------2

故必存在点x1,x2使 f(x1)?0,f(x2)?0

据零点存在定理知:在(x1,x2)内有点?使f(?)?0----------------------------2 又f?(x)?3x2?2ax?3 ----------------------------------------------------------------1 由于 ??(2a)2?36?4(a2?9)?0----------------------------------2

?f?(x)?0 即f(x)单调增加 ,故原题得证. -------------------------------------1

000 原式?limF(x)L'HF?(x)?xL'H0f(t)dtL'Hf(x)x?05x4?limx?020x3?limx2 x?010?limx?020x-------------3 ?120limf(x)?f(0)f?(0)1x?0x?20 ?5 . ------------------------------3 七、应用题(本题8分)

如图,在教室的墙壁上挂着一块黑板,它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米,若a,b已知,问学生距离墙壁多远时看黑板的视角?最大? A

B a ? b P H

解:设PH?x,tan?APH?ax,tan?BPH?bx------------------------------------1 atan??tan(?APH??BPH)?x?bx?(a?b)x-------------------------------2 1?abx2?abx2令dtan?(adx??b)(ab?x2)(x2?ab)2?0------------------------------------------------------2 得x?ab,且该唯一驻点是tan?的极大点------------------------------------------1

故x?ab时,tan?最大,----------------------------------------------------------------1

注意到??(0,?2),因此?也取到最大.-------------------------------------------------1