发布时间 : 星期三 文章2012高考真题分类汇编：推理与证明更新完毕开始阅读be7cfcdfce2f0066f5332283
8、 （Ⅰ）f?(x)?r?rxr?1?r(1?xr?1)，令f?(x)?0，解得x?1.
当0?x?1时，f?(x)?0，所以f(x)在(0,1)内是减函数； 当 x?1 时，f?(x)?0，所以f(x)在(1,??)内是增函数.
故函数f(x)在x?1处取得最小值f(1)?0. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x?(0,??)时，有f(x)?f(1)?0，即xr?rx?(1?r) ①
若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2?a1b1?a2b2成立； 若a1，a2均不为0，又b1?b2?1，可得b2?1?b1，于是
在①中令x?a1aa，r?b1，可得(1)b1?b1?1?(1?b1)， a2a2a2即a1b1a21?b1?a1b1?a2(1?b1)，亦即a1b1a2b2?a1b1?a2b2.
综上，对a1?0,a2?0，b1，b2为正有理数且b1?b2?1，总有a1b1a2b2?a1b1?a2b2. ②
（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：
设a1,a2,?,an为非负实数，b1,b2,?,bn为正有理数.
bnb2?an?a1b1?a2b2???anbn. ③ 若b1?b2???bn?1，则a1b1a2用数学归纳法证明如下：
（1）当n?1时，b1?1，有a1?a1，③成立.
（2）假设当n?k时，③成立，即若a1,a2,?,ak为非负实数，b1,b2,?,bk为正有理数，
bkb2?ak?a1b1?a2b2???akbk. 且b1?b2???bk?1，则a1b1a2当n?k?1时，已知a1,a2,?,ak,ak?1为非负实数，b1,b2,?,bk,bk?1为正有理数， 且b1?b2???bk?bk?1?1，此时0?bk?1?1，即1?bk?1?0，于是
bkbk?1bkbk?1b2b2a1b1a2?akak?1?(a1b1a2?ak)ak?1=(ab11?bk?11ab21?bk?12?abk1?bk?11?bk?1k)bk?1ak?1.
因
bkb1b2?????1，由归纳假设可得
1?bk?11?bk?11?bk?1ab11?bk?11ab21?bk?12?abk1?bk?1k?a1?ab?a2b2???akbkbkb1b2， ?11?a2????ak?1?bk?11?bk?11?bk?11?bk?11?bk?1bk?1ak?1.
bkbk?1b2?akak?1从而a1b1a2?ab?a2b2???akbk???11?1?bk?1??又因(1?bk?1)?bk?1?1，由②得 ?a1b1?a2b2???akbk???1?bk?1??1?bk?1bk?1ak?1?a1b1?a2b2???akbk?(1?bk?1)?ak?1bk?1
1?bk?1?a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1，
bkbk?1b2?akak?1?a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1. 从而a1b1a2故当n?k?1时，③成立.
由（1）（2）可知，对一切正整数n，所推广的命题成立.
说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对n?2成立，则后续证明中不需讨论n?1的情况.
9、 解：（1）由题意可知r1?A??1.2，r2?A???1.2，c1?A??1.1，c2?A??0.7，c3?A???1.8
∴k?A??0.7
（2）先用反证法证明k?A?≤1：
若k?A??1
则|c1?A?|?|a?1|?a?1?1，∴a?0 同理可知b?0，∴a?b?0 由题目所有数和为0 即a?b?c??1 ∴c??1?a?b??1 与题目条件矛盾 ∴k?A?≤1．
易知当a?b?0时，k?A??1存在 ∴k?A?的最大值为1 （3）k?A?的最大值为
2t?1. t?22t?1首先构造满足k(A)?的A?{ai,j}(i?1,2,j?1,2,...,2t?1)：
t?2t?1， a1,1?a1,2?...?a1,t?1,a1,t?1?a1,t?2?...?a1,2t?1??t?2a2,1?a2,2t2?t?1?...?a2,t?,a2,t?1?a2,t?2?...?a2,2t?1??1.
t(t?2)经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且
|r1(A)|?|r2(A)|?2t?1， t?2t2?t?1t?12t?1|c1(A)|?|c2(A)|?...?|ct(A)|?1??1??，
t(t?2)t?2t?2|ct?1(A)|?|ct?2(A)|?...?|c2t?1(A)|?1?下面证明
t?12t?1. ?t?2t?22t?1是最大值. 若不然，则存在一个数表A?S(2,2t?1)，使得t?22t?1. k(A)?x?t?2由k(A)的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x,2]中. 由于
x?1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x?1.
设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g?h，则
g?t,h?t?1. 另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负.
考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t?1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x?1（即每个负数均不超过1?x）. 因此
|r1(A)|?r1(A)?t?1?(t?1)(1?x)?2t?1?(t?1)x?x??2t?1?(t?2)x??x，
故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾. 因此k?A?的最大值为
2t?1。 t?2