发布时间 : 星期一 文章湖南师大附中2019-2020学年高三月考试卷(七)数学(理)试卷(含答案)更新完毕开始阅读be92f3c4f11dc281e53a580216fc700abb6852b1
(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X,求X的分布列和数学期望. 【解析】设A表示事件“甲同学选中3号选手”,B表示事件“乙同学选中3号选手”,C表示事件“丙同学选中3号选手”,则
C12C2344
(1)P(A)=2=,P(B)=3=,(2分)
C55C553?42?
所以P(AB)=P(A)P(B)=×?1-?=.(5分)
5?255?C215
(2)P(C)=3=,(6分)
C62X可能的取值为0,1,2,3,
2??3??1?3213?--1-1-1-?×??×??=××=, P(X=0)=P(A B C)=?
5??5??2?55225?
22133132119
P(X=1)=P(A -B -C)+P(A BC)+P(A -B C)=××+××+××=,
5525525525023122133119
P(X=2)=P(A B C)+P(AB C)+P(A B C)=××+××+××=,
552552552502313
P(X=3)=P(A B C)=××=.(10分)
55225所以X的分布列为: X P 0 3 251 19 502 19 503 3 253191933
X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.(12分)
255050252
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,D(0,2)为椭圆C短轴的一个端点,F为椭圆C的右焦点,线段DF的延长线与椭圆C相交于点E,且|DF|=3|EF|.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA与OB的斜率之3
积为-,求→OA·→OB的取值范围.
2
9 / 15
xy
【解析】(1)设椭圆C的方程为2+2=1(a>b>0),右焦点F(c,0).(1分)
ab2??4c
因为D(0,2)为椭圆短轴的一个端点,则b=2.因为|DF|=3|EF|,则点E?,-?.(3
3??3分)
16c21
因为点E在椭圆上,则2+=1,即a2=2c2.(4分)
9a9
x2y2
又c=a-4,则a=2(a-4),得a=8,所以椭圆C的标准方程是+=1. (5
84
2
2
2
2
2
22
分)
(2)解法一:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m, 代入椭圆方程,得x2+2(kx+m)2=8,即(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. 4km2m2-8
设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=2. (6分)
2k+12k+1
3y1y23
因为kOA·kOB=-,则·=-,即3x1x2+2y1y2=0,即3x1x2+2(kx1+m)(kx2+
2x1x22m)=0,
2m2-88k2m2
即(2k+3)x1x2+2km(x1+x2)+2m=0,所以(2k+3)·2-2+2m2=0,
2k+12k+1
2
2
2
即(2k2+3)(m2-4)-4k2m2+m2(2k2+1)=0,化简得m2=2k2+3.(7分) 1m2-42k2-12→→
所以OA·OB=x1x2+y1y2=-x1x2=-2=-2=2-1.(8分)
22k+12k+12k+1因为Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-8)=8(8k2+4-m2)=8(6k2+1)>0,k2≥0,则0<
2
≤2, 2k+1
2
→·→
所以-1 12又x1x2≠0,则m2≠4,即k2≠,则2≠1,所以→OA·→OB≠0.(10分) 22k+1当直线l的斜率不存在时,点A,B关于x轴对称,则kOA=-kOB. 10 / 15 366xy 因为kOAkOB=-,不妨设kOA>0,则kOA=.联立y=x与+=1,得点A(2, 222843),B(2,-3),或点A(-2,3),B(-2,-3),此时→OA·→OB=-1. 综上分析,→OA·→OB的取值范围是[-1,0)∪(0,1].(12分) 33 解法二:因为kOA·kOB=-<0,设kOA=k≠0,则kOB=-.(6分) 22ky1y233 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则·=-,即y1y2=-x1x2, x1x2221→→ 所以OA·OB=x1x2+y1y2=-x1x2.(7分) 2 22 ?y=kx,8由?xy得x+2kx=8,即(2k+1)x=8,所以x=.(8分) 2k+1 ?8+4=1, 2 2 2 22 2 2 21 2 同理,x22= 8 ?3?2 2?-?+1?2k? 16k2=2.(9分) 2k+9 22 8×16k8×16k2 所以x2==1x2= (2k2+1)(2k2+9)4k4+20k2+9 8×16 .(10分) 92 4k+2+20 k 9 因为4k2+2≥2 k≤4, 9962 4k2·2=12,当且仅当4k2=2,即k=±时取等号,则0 kk2 即-2≤x1x2≤2,且x1x2≠0,所以→OA·→OB的取值范围是[-1,0)∪(0,1].(12分) 21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=ln x-kx,其中k∈R为常数. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个相异零点x1,x2(x1 【解析】(1)f′(x)=-k=(x>0),(1分) xx 11 / 15 ①当k≤0时,f′(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;(2分) 1?1? ②当k>0时,由f′(x)>0,得0 k?k??1? ?,+∞?上单调递减.(5分) ?k? (2)因为x1,x2是f(x)的两个零点,则ln x2-kx2=0,ln x1-kx1=0, 所以ln x2-ln x1=k(x2-x1),ln x1+ln x2=k(x1+x2).(7分) 要证ln x2>2-ln x1,只要证ln x1+ln x2>2,即证k(x1+x2)>2, 即证 ln x2-ln x12(x2-x1) (x2+x1)>2,即证ln x2-ln x1>,只要证 x2-x1x2+x1 x22(x2-x1) ln>. x1x2+x1 x22(t-1)设t=(t>1),则只要证ln t>(t>1).(10分) x1t+1 2(t-1)(t-1)2 设g(t)=ln t-,则g′(t)=>0,所以g(t)在(1,+∞)上单 t+1t(t+1)2 调递增. 所以g(t)>g(1)=0,即ln t>分) (二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所 做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 ?x=1+cos α, 在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1的参数方程为?(α为参数). ?y=sin α以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=23sin θ. (1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程; (2)设动直线l:y=kx(x≠0,k≠0)分别与曲线C1,C2相交于点A,B,求当k为何值时,|AB|取最大值,并求|AB|的最大值. 【解析】(1)曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.将x2+y2=ρ2,x=ρcos θ代入, 得ρ2-2ρcos θ=0,所以曲线C1的极坐标方程是ρ=2cos θ.(3分) 12 / 15 2(t-1) ,所以ln x1+ln x2>2,即ln x2>2-ln x1.(12 t+1