发布时间 : 星期四 文章湖南师大附中2019-2020学年高三月考试卷(七)数学(理)试卷(含答案)更新完毕开始阅读be92f3c4f11dc281e53a580216fc700abb6852b1
由ρ=23sin θ,得ρ=23ρsin θ.将ρ=x+y,ρsin θ=y代入,得x2+y2=23y,
所以曲线C2的直角坐标方程是x2+y2-23y=0.(5分)
?x=tcos α,
(2)解法一:设直线l的倾斜角为α,则l的参数方程为?(t为参数,
?y=tsin α且t≠0). (6分)
2
将l的参数方程代入曲线C1的普通方程,得t-2tcos α=0,则tA=2cos α.(7分)
将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程,得t2-23tsin α=0,则tB=23sin α.(8分)
π????
所以|AB|=|tA-tB|=|2cos α-23sin α|=4?cos?α+??,(9分)
3????π??π??
据题意,直线l的斜率存在且不为0,则α∈?0,?∪?,π?,
2??2??
2π
所以当α=,即k=tan α=-3时,|AB|取最大值,且|AB|max=4.(10分)
3解法二:设直线l的倾斜角为α,则l的极坐标方程为θ=α(ρ≠0).(6分) 设点A,B的极坐标分别为A(ρ1,α),B(ρ2,α),则ρ1=2cos α,ρ2=23sin α.(8分)
π????
α+????.(9分) 所以|AB|=|ρ1-ρ2|=|2cos α-23sin α|=4cos
3????π??π??
据题意,直线l的斜率存在且不为0,则α∈?0,?∪?,π?,
2??2??
2π
所以当α=,即k=tan α=-3时,|AB|取最大值,且|AB|max=4.(10分)
3解法三:将y=kx(x≠0)代入曲线C1的普通方程,得x2+k2x2-2x=0(x≠0),则xA
=
2
.(6分) k+1
2
2222
13 / 15
将y=kx(x≠0)代入曲线C2的直角坐标方程,得x+kx-23kx=0(x≠0),则xB
23k=2.(7分) k+1
所以|AB|=|xA-xB|·
k2+1=|
223k
-2|·k+1k+1
2
222
k2+1=
2|3k-1|
=
k2+1
2
(3k-1)2
(k≠0).(8分)
k2+1
(3k-1)2令=m,则(m-3)k2+23k+m-1=0. 据题意,该方程有非零实数解, 2
k+1?m≠3,
则m=3或?解得0≤m≤4,所以|AB|=2m≤4.(9
?Δ=12-4(m-3)(m-1)≥0,
分)
当m=4时,k2+23k+3=0,即(k+3)2=0,得k=-3. 所以当k=-3时,|AB|取最大值,且|AB|max=4.(10分) 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x-5|.
(1)解不等式:f(x)+f(x+2)≤3;
(2)若a<0,求证:f(ax)-f(5a)≥af(x).
【解析】(1)不等式化为|x-5|+|x-3|≤3.(1分) 5
当x<3时,原不等式等价于-2x≤-5,即≤x<3;(2分)
2当3≤x≤5时,原不等式等价于2≤3,即3≤x≤5;(3分) 当x>5时,原不等式等价于2x-8≤3,即5 综上,原不等式的解集为?,?.(5分) ?22? (2)证明:由题意得 f(ax)-af(x)=|ax-5|-a|x-5|=|ax-5|+|-ax+5a|≥|ax-5-ax+5a|=|5a-5|=f(5a), 所以f(ax)-f(5a)≥af(x)成立.(10分).org 14 / 15 11 .(4分) 2 15 / 15