发布时间 : 星期日 文章极限的产生与应用更新完毕开始阅读bef103d819e8b8f67c1cb9ae
步一步渐渐积累起来的，它也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法—归谬法来完成有关的证明1。
提到极限思想，就不得不提到著名的阿基里斯悖论——一个困扰了数学界十几个世纪的问题。阿基里斯悖论是由古希腊的著名哲学家芝诺提出的，他的话援引如下：“阿基里斯不能追上一只逃跑的乌龟，因为在他到达乌龟所在的地方所花的那段时间里，乌龟能够走开。然而即使它等着他，阿基里斯也必须首先到达他们之间一半路程的目标，并且，为了他能到达这个中点，他必须首先到达距离这个中点一半路程的目标，这样无限继续下去。从概念上，面临这样一个倒退，他甚至不可能开始，因此运动是不可能的。”就是这样一个从直觉与现实两个角度都不可能的问题困扰了世人十几个世纪，直至十七世纪随着微积分的发展，极限的概念得到进一步的完善，人们对“阿基里斯”悖论造成的困惑才得以解除。
无独有偶，我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭。”也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝，竿会越来越短，长度越来越趋近于零，但又永远不会等于零。这更是从直观上体现了极限思想。我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用。所谓“割圆术”，就是用半径为R的圆的内接正多边形的边数n一倍一倍地增多，多边形的面积An就越来越接近于圆的面积πR。在有限次的过程中，用正多边形的面积来逼近圆的面积，只能达到近似的程度。但可以想象，如果把这个过程无限次地继续下去，就能得到精确的圆面积2。
1.2极限思想的发展
极限思想是到了16世纪才得以进一步发展的，那时的极限思想是在欧洲资本主义萌芽时期，生产力得到极大发展，生产和技术中大量问题无法用初等数学解决的前提下，一批先进数学家们才进入极限思想的领域深入研究的，这时极限思想的发展与微积分的建立越来越紧密相连了。科学家们为了获得更高的生产力，不断的进入了极限思想的研究中，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
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起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。 牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。
正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到了人们的怀疑与攻击。 英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。 这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。
在极限思想的发展中，我们可以看出数学并不是自我封闭的学科，它与其他学科有着千丝万缕的联系。正如一位哲人所说：“数学不仅是一种方法，一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系。”在探求极限起源与发展的过程中，我发现数学确实是一个美丽的世界，享受数学是一个美妙的过程。以前总是觉得数学枯燥艰涩，可是通过近段时间对极限思想的探究，我真切地感受到数学之美。在数学推理的过程中，我们可以尽情发散自己的思维，抛开身边的一切烦恼，插上智慧的双翼遨游于浩瀚无疆的数学世界。什么琐事都不要想，全身心投入其中，享受智慧的自由飞翔，这种感觉真的很美。
1．3极限思想的完善
极限思想的完善的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法一一归谬法来完成有关的证明.
柯西被公认为近代分析的主要奠基人，事实上，他在19世纪20年代陆续发表了3本著作：《工科学学分析教程》、《无限小计算概要》和《微积分讲义》，其中革新了微积分中长期沿袭下来的模糊的旧概念重整了他的理论，把它纳入到一个新的严密的理论体系之中，柯西看出核心的问题是极限，他把极限概念理解为潜无限。并且定义“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终是变量和改定值之差要多小就多小”.这个定值就叫做所有其它值的极限，第一次使极限概念摆脱了与几何和运动直观的任何牵连，给出了建立在属于函数概念上清楚的定义.
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但是，柯西的极限概念并没有严格的数学定义而是停留在直观的描述上面，所以在他的著作的叙述中不是用严格的数学语言表达，他的函数概念并没有完全脱离解析方式的束缚，在函数的连续性和可微性方面也欠明确等等.因此，他的微积分虽然具有近代的形式但它的基础并不牢固.
2、极限思想的概念及其性质
2.1极限的现代定义
极限是指无限趋近于一个固定的数值。而极限又可分为数列极限和函数极限。学习微积分，就会有引入极限的必要性，因为代数是无法处理“无限”的概念，所以为了要利用代数处理无限的量，于是就要构造“极限”的概念。在“极限”的定义中,我们可以知道，极限的概念为了解决一个数除以0的麻烦，引入了一个过程小量可以取任意小， 只要满足在△?的区间内，都小于该任意的小量，我们极限为该数，这样的定义可能不够信服力，但它的实用性证明，这个定义还是比较完善的，给出了正确的可能。
数列极限的标准定义：对数列{ Xn}，若存在常数a，对于任意?>0，总存在正整数N，使得当n>N时， Xn?a??成立，那么称a是数列{ Xn}的极限。[4]
2.2函数极限的性质
定理2.1（唯一性） 若极限limf(x)存在，则此极限是唯一的3。
x?x0定理2.2（局部有限性）若limf?x?存在，则f在x0的某空心邻域U0?x0?内
x?x0有界。
3 极限思想在解题中的应用
3.1在开方方面的应用
《九章算术》开方术说“若开元不尽者，为不可开。当以面命之。”这就是说，凡开不尽的数，可以以面命之。“以面命之”就是余数表示，即：
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A?r?A???r
其中，?A2?r?为被开方数A为其平方根的近似值，r为开方不尽的余数。 在古代，为了表示开方不尽数的值。一般常用的方法是，加借算命分和不加借算命分。
这两种方法并不是理想的方法，所以刘徽说，“令不加借算而命兮，则又徽分。其数不可得而定故堆以而命之，为不失和，就是说只有
A?r?A???r
没有误差。但是由于这种表示方法不够具体，于是刘徽利用极限思想创立了十进制的表示法。
他说：“不以面命之，加定法如前，求其徽数。徽数无名者以为分子，其一认十为母，其再实以百为母。退之弥下，其分弥细。则朱幂虽有所弃之数，不是言之也。”这就是：
aaa?limSn??A?1?22?????nnx??101010?????A2?r 其中A为整数，a1，a2，??? an 是平方根的十进分数的分子都是一位
a?aa?整数。而S1??A?1?22?????nn?
101010??取近似值，则得：
A2?r?A?aa1a2?2?????nn或A2?r?Sn 101010因为古代是用正方形来解释开平方的，所谓“朱幂”相当于被开方数与近似平方根的平方之差。 用现代符号表示：
?A2?r??Sn2
2a?aa?或?A2?r???A?1?22?????nn?
101010??22??0实际上，这就是极限在开方方面的应用。 而?A?r?S??n?? - 8 -