发布时间 : 星期二 文章高中数学第二章2.3.3 - 2.3.4直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质练习新人教A版必修2更新完毕开始阅读c0062bb1504de518964bcf84b9d528ea80c72f7e
2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
【选题明细表】 知识点、方法 线面垂直性质的理解 面面垂直性质的理解 线面垂直性质的应用 面面垂直性质的应用 题号 3,4,10 1,2 4,6 5,7,8,9,11,12
1.已知两个平面垂直,下列说法:①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确说法个数是( C ) (A)3 (B)2 (C)1 (D)0
解析:如图在正方体ABCDA1B1C1D1中,对于①AD1?平面AA1D1D,BD?平面ABCD,AD1与BD是异面直线,成角60°,①错误;②正确.对于③,AD1?平面AA1D1D,AD1不垂直于平面ABCD;对于④,如果这点为交线上的点,可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直,④错误.故选C.
2.(2018·陕西西安一中月考)在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是( A )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等边三角形 (D)等腰直角三角形
解析:过点A作AH⊥BD于点H,由平面ABD⊥平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AB,即△ABC为直角三角形.故选A. 3.如果直线l,m与平面α,β,γ之间满足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么( A ) (A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β (C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ
解析:由m?α,m⊥γ得α⊥γ,由l=β∩γ,得l?γ,所以m⊥l.故选A.
4.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( D ) (A)若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 (B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行
(C)若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 (D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
解析:若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故
A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知m∥n,故D正确. 5.(2018·沈阳检测)如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD.沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面所在平面中,互相垂直的平面的对数为( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:因为平面ABD⊥平面BCD,又AB⊥BD, 所以AB⊥平面BCD,AB?平面ABC, 所以平面ABC⊥平面BCD. 同理,平面ACD⊥平面ABD.
故四面体ABCD中互相垂直的平面有3对.故选C.
6.(2018·河北邢台调研)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出四个命题:
①若l⊥α,α⊥β,则l?β;②若l∥α,α∥β,则l?β;③若l⊥α,α∥β,则l⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β. 则正确命题的个数为 .
解析:①错,可能有l∥β;②错,可能有l∥β;③正确;④错,也可能有l∥β,或l?β或l与β相交. 答案:1
7.如图所示,三棱锥PABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是 .
解析:因为平面PAC⊥平面PBC,
AC⊥PC,AC?平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC. 所以AC⊥平面PBC.
又BC?平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°.
所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A,B两点). 答案:以AB为直径的圆(除去A,B两点)
8.(2018·江苏启东中学月考)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC=CA=
,AD=CD=1.
(1)求证:BD⊥AA1;
(2)若E为棱BC的中点,求证:AE∥平面DCC1D1. 证明:(1)在四边形ABCD中, 因为AB=BC,AD=DC, 所以BD⊥AC,
又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC, BD?平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C, 又因为AA1?平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.
(2)在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为棱BC的中点,所以AE⊥BC, 又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=,AD=CD=1. 所以∠ACB=60°,∠ACD=30°, 所以DC⊥BC,所以AE∥CD.
因为CD?平面DCC1D1,AE?平面DCC1D1, 故得AE∥平面DCC1D1.
9.(2018·甘肃嘉峪关期末)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥DABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是( B )
(A)①②④ (B)①②③ (C)②③④ (D)①③④
解析:设等腰直角△ABC的腰长为a,
则斜边BC=a,
①因为D为BC的中点,所以AD⊥BC,
又平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,BD⊥AD,BD?平面ABD, 所以BD⊥平面ADC,又AC?平面ADC, 所以BD⊥AC,故①正确;
②由A知,BD⊥平面ADC,CD?平面ADC,
所以BD⊥CD,又BD=CD=a,
所以由勾股定理得BC=·a=a,
又AB=AC=a,所以△ABC是等边三角形,故②正确; ③因为△ABC是等边三角形,DA=DB=DC, 所以三棱锥DABC是正三棱锥,故③正确.
④因为△ADC为等腰直角三角形,取斜边AC的中点F,则DF⊥AC,又 △ABC为等边三角形,连接BF, 则BF⊥AC,
所以∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角,
由BD⊥平面ADC可知,∠BDF为直角,∠BFD不是直角,故平面ADC与平面ABC不垂直,故④错误.综上所述,正确的结论是①②③.故选B.
10.(2018·宿州市高二期中)设m,n为空间的两条直线,α,β为空间的两个平面,给出下列命题:
①若m∥α,m∥β,则α∥ β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β; ③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,n⊥α,则m∥n. 上述命题中,其中假命题的序号是 .
解析:①若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行都可能,故①不正确; ②若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故②正确;
③若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故③不正确; ④若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质定理知m∥n,故④正确. 答案:①③
11.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1BCDE. (1)证明:CD⊥平面A1OC;
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36的值.
,求a
(1)证明:在题图1中,
因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,
∠BAD=,AD∥BC,所以BE⊥AC,BE∥CD,
即在题图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC, 且OA1∩OC=O,
从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC. (2)解:由已知,平面A1BE⊥平面BCDE, 且平面A1BE∩平面BCDE=BE,
又由(1)知A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE, 即A1O是四棱锥A1BCDE的高.
由题图1知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a.
2
从而四棱锥A1BCDE的体积为V=×S×A1O=×a×
2
a=a,由
3
a=36
3
得a=6.
12.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)若E为BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论. (1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG.
因为△PAD为等边三角形, 所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD. 又BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB. 因为PB?平面PGB, 所以AD⊥PB.
(2)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD. 证明:取PC的中点F,连接DE,EF,DF. 则EF∥PB,所以可得EF∥平面PGB. 在菱形ABCD中,GB∥DE, 所以可得DE∥平面PGB.
而EF?平面DEF,DE?平面DEF,EF∩DE=E, 所以平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD,而PG?平面PGB, 所以平面PGB⊥平面ABCD, 所以平面DEF⊥平面ABCD.