发布时间 : 星期四 文章江苏专用2018版高考数学大一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和教师用书文更新完毕开始阅读c006a0b705a1b0717fd5360cba1aa81145318f65
第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d. 3.等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N),则ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,?(k,m∈N)是公差为md的等差数列. (6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?构成等差数列. 5.等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
*
*
*
n?a1+an?
2
或Sn=na1+n?n-1?
d.
2
d?d?Sn=n2+?a1-?n.
2
?2?
数列{an}是等差数列?Sn=An+Bn(A,B为常数). 7.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
【知识拓展】
1
2
等差数列的四种判断方法
(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)?{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2 (n∈N)?{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)?{an}是等差数列. (4)前n项和公式:Sn=An+Bn(A,B为常数)?{an}是等差数列.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.
( × )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为-2.( √ )
2
*
1.(教材改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3=3,S9-S6=27,则该数列的首项a1= . 3答案 5
??a1+2d=3,
解析 由?
?9a1+36d-?6a1+15d?=27,??a1+2d=3,?
得?
??a1+7d=9,
3
解得a1=. 5
85
2.(教材改编)已知五个数成等差数列,它们的和为5,平方和为,则这五个数的积为 .
935
答案 -
81
解析 设第三个数为a,公差为d,则这五个数分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d, 由已知条件得
?a-2d?+?a-d?+a+?a+d?+?a+2d?=5,???8522222?a-2d?+?a-d?+a+?a+d?+?a+2d?=,?9?
2
a=1,??解得?2
d=±.?3?
11577511所求5个数分别为-,,1,,或,,1,,-. 3333333335
故它们的积为-. 81
3.(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100= . 答案 98
9?a1+a9?9×2a5
解析 由等差数列性质,知S9===9a5=27,得a5=3,而a10=8,因此公
22差d=
a10-a5
10-5
=1,
∴a100=a10+90d=98.
4.设数列{an}是等差数列,若a3+a4+a5=12,则a1+a2+?+a7= . 答案 28
解析 ∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4, ∴a1+a2+?+a7=7a4=28.
5.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{an}的前n项和最大. 答案 8
解析 因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0.故当n=8时,其前n项和最大.
题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)(2016·北京)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= .
(2)(2016·徐州、宿迁模拟)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则的值为 . 17
答案 (1)6 (2)
9
解析 (1)∵a3+a5=2a4=0,∴a4=0.
S5S3a5a3
3
又a1=6,∴a4=a1+3d=0,∴d=-2. 6×?6-1?
∴S6=6×6+×(-2)=6.
2(2)设等差数列{an}的首项为a1,则由=3 得
5a1+10d=3,所以d=4a1,
3a1+3dS5S3
所以=a5a1+4d17a117
==.
a3a1+2d9a19
思维升华 等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
(2016·江苏)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a2=-3,S5=10,
则a9的值是 . 答案 20
解析 设等差数列{an}的公差为d,
2
a1+?a1+d?=-3,??则由题设可得?5×4
5ad=10,1+?2?
??d=3,
解得?
?a1=-4,?
2
从而a9=a1+8d=20.
题型二 等差数列的判定与证明
311**
例2 已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N),数列{bn}满足bn=(n∈N).
5an-1an-1(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由. (1)证明 因为an=2-
*
bn=(n∈N),
an-1
1
an-1
(n≥2,n∈N),
*
1
4