发布时间 : 星期五 文章高三一轮复习—双曲线讲义更新完毕开始阅读c124762db4daa58da0114a0c
高三第一轮复习数学---双曲线
一、教学目标：掌握双曲线的定义、标准方程、和双曲线的简单几何性质.
二、教学重点：深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，
掌握直线与双曲线的位置关系。
三、教学过程：
（一）主要知识： 1.双曲线的定义
第一定义：平面内与两个定点F1,F2距离的差的绝对值等于2a(2a?|F1F2|)的点的轨迹。 第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数(e?1)的动点的轨迹。 2双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 x2y2?2?1(a?0,b?0) 2ab y2x2?2?1(a?0,b?0) 2ab图形 性 质 焦点 F1（-c,0)，F2（c,0) F1（0,?c)，F2（o,c) 焦距 范围 对称 顶点 轴 离心率 | F1F2|=2c a2?b2?c2 |y|?a,x?R （0，-a）（0，a） |x|?a,y?R （-a，0）。（a，0） 关于x轴，y轴和原点对称 实轴长2a，虚轴长2b e?c(e?1) a准线 a2x?? cxy??0 aba2y?? cxy??0 ba渐近线 第 1 页 共 6 页
焦半径 |PF1|?ex1?a, |PF2|??(ex1?a) |PF1|?ey1?a, |PF2|??(ey1?a) 说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。 (2)双曲线方程中的a,b,c,e,p与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐进线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b，一个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。
求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。
(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。
x2y2y2x2利用共渐近线的双曲线系2?2?k或2? ?k(k?0)方程解题，常使解法简捷。
2abab(4)双曲线的焦半径，当点P在右支（或上支）上时，为ex0?a,(ey0?a);当点P在左支（或下支）上时，为?(ex0?a),[?(ey0?a)];利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用，
（二）例题分析：
例1：根据下列条件，求双曲线方程：
x2y2??1有共同渐近线，且过点(?3,23)； (1) 与双曲线
916x2y2??1有公共焦点，且过点(32,2)。 (2) 与双曲线
1641x2y2???(??0)，将点(?3,23)代入得??， 【解】：（1）设所求双曲线方程为
4916x2y21??。 所以双曲线方程为
9164x2y2??1，将点(32,2)代入得k?4， （2）设双曲线方程为
16?k4?kx2y2??1。 所以双曲线方程为
128【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。 例2：（1）若双曲线的两条渐近线夹角是2a，求它的离心率e；
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（2）若双曲线的离心率是e，求它的两条渐近线夹角。
aa?sin?，或?cos? ∴离心率e?sec?或csc?。 cc?c（2）设两条渐近线夹角是2?,(0???), ∵?sec?
4a11∴若1?e?2，则夹角2??2arccos , e?2，则夹角2????2arccos
ee【解】：（1）由题设知
【思维点拨】由于两直线的夹角?的取值范围为??(0,?2]，故上述问题有两种不同情况。
x2y2??1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。 例3：在双曲线
169【解】：设P点的坐标为(x,y)，F1,F2分别为双曲线的左，右焦点。
|PF1||PF2|16?∵双曲线的准线方程为x??。 ∴ 16165|x?||x?|55∵|PF1|?2|PF2| ∴P在双曲线的右支上。 ∴
2|PF2||PF2|? 1616x?x?5548483x2y2??1得y??119。 ∴x?。把x?代入方程
555169所以，P点的坐标为（
483119） ，?55【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了.
x2y2例4：已知双曲线2?2?1的离心率e?1?2，左，右焦点分别为F1,F2，左准线为l1，
ab能否在双曲线的左支上找到一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项。 【解】：设在左半支上存在点P，使
|PF1|2?|PF2|，由双曲线的第二定义知
|PF1||PF2|??e，即|PF2|?e|PF1| ① d|PF1|再由双曲线的第一定义，得|PF2|?|PF1|?2a ② 由①②，解得： |PF1|?2a2ae,|PF2|? e?1e?12a2ae??2c ③ e?1e?1由在ΔPF1F2中有 |PF2|?|PF1|?2c， ?第 3 页 共 6 页
利用e?c2，从③式得e?2e?1?0 解得1?2?e?1?2 a?e?1?1?e?1?2，与已知e?1?2矛盾。 ∴符合条件的点P不存在。
【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取值是关键。
例5： 已知双曲线的焦点在x轴上，且过点A(1,0)和B(?1,0)，P是双曲线上异于A、B的任一点，如果ΔAPB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线的标准方程。
y2【解】：设双曲线方程为x?2?1,P(x0,y0)为双曲线上任一点，BN，PM是ΔAPB的两条
b2高，则BN方程为y?21?x0(x?1) ① PM方程为x?x0 ② y02又x02y0yy2)，又H在双曲线上，∴x0?04?1 ④ ?02?1, ③ 得H(x0,?2bbb∴b?1，所以双曲线方程为x2?y2?1
2【思维点拨】设方程，消参数。
例6：双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为3，它的两个焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与直线F1F2的夹角为?，且tan??21，l与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段2P F2与双曲线的交点为Q，且|PQ|:|QF2|=2:1，建立适当的坐标系，求双曲线的方程。 【解】：以F1F2的中心为原点，F1，F2所在的直线为x轴建立坐标系，
x2y2则所求双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0)，设F2(c,0)，
ab不妨设l的方程为y?2121(x?c)，它与y轴交点P(0,?c) 220?2c2?x??c?33?221Q(c,?c) 由定比分点坐标公式Q点的坐标为? 即2136?c?212?y???c36?4c221c2222??1a?b?c由点Q在双曲线上可得 ① 又 ② ③ ab?3229a36b第 4 页 共 6 页