发布时间 : 星期日 文章高考一轮复习 - 直线与圆的方程更新完毕开始阅读c128c9d390c69ec3d4bb756e
(m+1)+(m+2)＜1,m+3m+2＜0, 得-2＜m＜-1,
∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切； 当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.
例4（12分）已知点P（0，5）及圆C：x+y+4x-12y+24=0. （1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程； （2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.
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解 （1）方法一 如图所示，AB=43，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=23，圆x+y+4x-12y+24=0可化
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为（x+2）+（y-6）=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4， 在Rt△ACD中，可得CD=2. 即kx-y+5=0.
由点C到直线AB的距离公式：
?2k?6?5k?(?1)2222
2分
设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,
=2，得k=
3. 4此时直线l的方程为3x-4y+20=0.
4分 6分
又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0.
2
则y-12y+24=0,∴y1=6+23,y2=6-23,
∴y2-y1=43,故x=0满足题意. ∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0. y-5=kx,即y=kx+5,
?y?kx?5, 联立直线与圆的方程?22x?y?4x?12y?24?0? 8分
方法二 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为
消去y得（1+k）x+(4-2k)x-11=0 设方程①的两根为x1,x2,
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① 2分
2k?4?x?x?12??1?k2由根与系数的关系得?
11?xx??12?1?k2? ② 4分
由弦长公式得1?k2|x1-x2|=(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?43, 将②式代入，解得k=
3， 4此时直线的方程为3x-4y+20=0.
6分
8分
又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0. ∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0. （2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）, 则CD⊥PD，即CD2PD=0， x+y+2x-11y+30=0.
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10分
12分
（x+2,y-6）2(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为
1.m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x+y=5. （1）无公共点； （2）截得的弦长为2； （3）交点处两条半径互相垂直.
解 （1）由已知，圆心为O（0，0），半径r=5, 圆心到直线2x-y+m=0的距离 d=
m2?(?1)2222
?m5,
∵直线与圆无公共点，∴d＞r,即∴m＞5或m＜-5.
m5?5,,
故当m＞5或m＜-5时，直线与圆无公共点. （2）如图所示，由平面几何垂径定理知 m2r-d=1，即5-=1. 52
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得m=±25,
∴当m=±25时，直线被圆截得的弦长为2. （3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直， ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， ∴d=
m22r，即=25， 22552. 252时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直. 22
2
解得m=±故当m=±
2.从圆C：x+y-4x-6y+12=0外一点P（a，b）向圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO| （O为原点）. 求|PT|的最小值及此时P的坐标. 解 已知圆C的方程为 (x-2)+(y-3)=1，
∴圆心C的坐标为（2，3）， 半径r=1.
如图所示，连结PC，CT， 由平面几何知， PT=PC-CT
=（a-2）+（b-3）-1. 由已知，PT=PO，∴PT=PO， 即（a-2）+（b-3）-1=a+b. 化简得2a+3b-6=0.
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得PT=a+b=当a=
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（13a-24a+36）. 912时， 1321126?12?13????24??36?13. PTmin=31313?13?|PT|的最小值为
613， 13?1218?此时点P的坐标是?，?.
?1313?3.求过点P（4，-1）且与圆C：x+y+2x-6y+5=0切于点M（1，2）的圆的方程. 解 方法一 设所求圆的圆心为A（m,n)，半径为r, 则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r，
因为圆C：x+y+2x-6y+5=0的圆心为C（-1，3），
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?n?22?3??则?m?11?1,
2222?(m?1)?(n?2)?(m?4)?(n?1)?r?解得m=3,n=1,r=5,
所以所求圆的方程为(x-3)+(y-1)=5.
方法二 因为圆C：x+y+2x-6y+5=0过点M（1，2）的切线方程为2x-y=0, 所以设所求圆A的方程为 x+y+2x-6y+5+?(2x-y)=0,
因为点P（4，-1）在圆上，所以代入圆A的方程， 解得?=-4,
所以所求圆的方程为x+y-6x-2y+5=0.
4.圆x+y=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为?，直线l交圆于A、B两点. （1）当?=
3?时,求AB的长； 42
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（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程. 解 （1）当?=
3?时，kAB=-1， 4直线AB的方程为y-2=-（x+1）， 即x+y-1=0.
故圆心（0，0）到AB的距离 d=
0?0?12?2, 21?30. 2从而弦长|AB|=28?（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=-2，y1+y2=4. ?x12?y12?8,由?2 2?x2?y2?8,
两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0， 即-2（x1-x2）+4（y1-y2）=0， ∴kAB=
y1?y21?. x1?x221（x+1）， 2∴直线l的方程为y-2=即x-2y+5=0.
一、选择题
1.（20082辽宁理，3）圆x+y=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是 A.k??2,2 C.k??3,3 答案C
2.（20082重庆理，3）圆O1：x+y-2x=0和圆O2：x+y-4y=0的位置关系是 A.相离
B.相交
C.外切
答案B
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3.已知圆C：（x-a）+(y-2)=4 (a＞0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为23时，则a
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（ ）
??
B.k???,?2????2,??? ??3,???
（ ） D.内切
?? D. k???,?3??等于 A.2
（ ）
B.2-2 C.2-1 D.2+1
答案C
4.（20082全国Ⅰ文，10）若直线A.a+b≤1
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xy22
?=1与圆x+y=1有公共点，则 ab
D.
( )
B.a+b≥1
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C.
11?2≤1 2ab11?2≥1 2ab答案D
5.能够使得圆x+y-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 （ ） A.2
B.5
C.3
D.35
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答案C
6.（20082湖北理，9）过点A（11，2）作圆x+y+2x-4y-164=0的弦，其中弦长为整数的共有（ ）A.16条 二、填空题
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7.设直线ax-y+3=0与圆（x-1）+(y-2)=4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a= .
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B.17条 C.32条 D.34条
答案C
答案 0
8.（20082湖南文，14）将圆x+y=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是 ；若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是 .
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