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第3章 有限元基本理论
摘要：从一般的边值问题数值解理论出发，讲解了有限元法的基本过程和基本理论。有限元法基本过程包括问题几何区域的离散、近似解待定参数的确定、方程的建立等；基本理论包括单元的分类、单元形函数的性质、等参单元、单元积分和节点等。本章讲述的内容不受应用领域的限制。
有限元法是为了解决结构分析而发展起来的一种新的数值方法。经过近50年发展，它不但是结构分析强有力的工具，而且，在结构分析获得重大成功后，其理论也已日趋成熟，商务化软件系统也已有一定规模和数量，在其它领域边值问题的数值计算方面同样获得巨大成功。
设由边界Γ围成区域Ω，其基本解为未知函数u的某一连续介质边值问题。在第一章中我们将此问题转化成等效积分形式，并用加权残数法进行数值解；第二章中对具有泛函极值形式的问题采用Litz进行数值解。但是以上两章并没有解决数值解中的试探函数（有限元中称形函数）的选取问题。
有限元方法的关键是待定参数和形函数的选取及计算，那么采用有限元数值解法，需要经过哪些基本理论和过程呢？
§3.1 有限元法概述
3.1.1区域的离散化
将区域Ω近似地离散成有限数量的，基本形状有一定限制的，尺寸远小于Ω和Γ的子区域集
Elems，Elems称为有限单元（Element）集，它的元素称单元，记为e或ei，对每个单元给予编号，
即
Ω?Elems?{ei|i?1,2,
Γ2 图1.1区域离散成单元 ,Me} (3.1.1)
单元边界 Γ1 节点 e1 单元e 2 e2 1 ei Ω e3 e4 图1.2单元位置与形状由结点控制 图1.3单元协调性 单元的基本形状可根据Ω的几何维数选择，例如一维几何区域为线单元；二维区域可选择三角形或四边形单元；而三维区域选择四面体、五面体和六面体单元等。图1.1的平面区域被离散成有限个三角形单元，详细的单元分类和性质请见3.3的讨论。控制单元形状和位置的点称为单元节点（element node,也有称结点或接点），简称节点（Node），例如图1.2。节点的集合记为Nodes，称节点集，并给予编号，即
Nodes?{ni|i?1,2,,Mn}
(3.1.2)
围成单元的几何元素称为单元边界，例如图1.2中四边形单元的四条边（edge）、四个顶点节点和四个中间节点都属于单元边界。单元边界比之单元在几何维数上要低，根据几何维数不同，单元边界又可以分单元面、单元边、单元节点。在离散区域时，为了保证问题解的唯一性和连续性，两相邻单元的边界
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必须保持完全重合，即单元边界的节点被相邻单元完全共享。例如图1.3中的节点1被单元e2与e4共享，而节点2被e1、 e2、e3与e4四个单元共享。如何保证单元之间的问题解的连续性将在3.3、3.4节中讨论。
3.1.2 确定待定参数集
在第一章中已经指出，边值问题的数值解u(x)是待定参数矢量集{αi}的线性组合
u(x)?u(x)?Nα (3.1.3)
设节点ni的问题解的值为ui，ui组成的集合记为U，即
U?{ui|i?1,2,,Mn}
(3.1.4)
虽然U还不能完全等同近似解的待定参数集，但如果试探函数看成是对U插值函数，从矢量运算角度考虑，(3.2.3)可以改写成和
u(x)?u(x)?NU
(3.1.5)
其中试探函数（插值函数）在有限元中称为形函数（shape function），所以在得到U后，就获得了问题的近似解，只是选定合适的形函数。
例如，图1.4由四个四边形单元组成固体力学平面应力应变问题，则U由所有单元节点位移矢量所组成，简称位移矢量。所以问题的单元集、节点集和位移矢量分别为
Elems?{e1,e2,e3,e4}U??u1,u2,73TNodes?{n1,n2,,n9}T
,u9??{(u1,v1),(u2,v2),9,(u9,v9)}844152612图1.4 单元集与结点集3在U中，并不是所有参数是待定的。在本质边界上，节点的u值是确定，在混合边界上，节点的u受到边界条件方程的约束。例如固体力学问题位移解法中，位移边界上节点的位移值属于已知，混合边界上节点的位移受混合边界条件方程约束。但是不管节点的u值如何获得，(3.1.5)的近似式仍然成立。所以在有限元方法对单元讨论，暂时把U看成待定参数集，只是在后面求界待定参数方程组时，把已知的参数和约束方程代入方程组，从而减少方程组的数量，详细讨论见下章讨论。
3.1.3 单元形函数的基本要求
在单元e中，设有me个节点。为了分析方便，节点的编号仍然采用1至me，称之为局部编号以区别节点的整体编号。记第i个单元局部节点的问题解在有限元法中采用以下假定：
1） 单元内的问题解近似值只是该单元节点问题解的值所决定，与其他单元问题解的值无关。 2） 问题解u的每个分量都采用相同的形函数。 所以单元e内近似解的插值的矢量形式和分量形式为
memeu(x)??N(x)u
eejejj?1
u(x)?ei?Nj?1eje (x)uij (3.1.6)
ee其中uie(x)为单元e内问题解u(x)的第i个分量，Nj(x)为单元e的第j个节点的形函数，uij是第j个
节点的u的第i个分量。
以上插值显然是Langrange插值法，只保证了近似解的C0阶连续。如果要提高问题解连续性阶数，则需采用Hermite插值法，这时以上第一条假定得取消。
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为了保证问题解的唯一性和单元之间问题解的C0连续，（3.1.6）式形函数必须满足以下性质：
1）唯一性：在每个节点上插值函数的值有
5 5 9 6 1 13 20 17 18 12 16 4 10 15 2 14 8 19 7 11 ?1Ne(x)????jiij?0i?ji?j (3.1.7)
2）连续性：单元边界F（或是单元面，或是单元边，或是单元节点）上的形函数值，除了此边界上节点的形函数外，其他节点的形函数必须为0，即
3 图1.5六面体20结点单元 Ne(x)?0jx?F,ne?F j (3.1.8)
3A2pA1(x,y)A321图1.6 三角形单元单元边界F可以是。例如图1.5三维20节点的六面体单元，节点1、2、6和5围成一个单元面，此面上的形函数值除了1、2、5、6、9、10、13和17节点的形函数外，其他节点的形函数必须等于0；节点1、2组成的单元边，此边上的形函数值除了1、2和13节点外，其他节点的形函数必须等于0。把此原则推广到单元的节点上便得到以上第一条性质。满足(3.1.8)式也就满足了单元与单元的交接边界上，问题解的插值是连续的。
3） 常数性：如果单元上每个节点的问题解值相同，则此单元内每个坐
标的问题解值也相同，即：
u(x)?C?mee?Nj?1meej(x)uej??Nj?1meej (x)C?C?Nej(x)j?1me所以有：
Ne?j(x)?1j?1 (3.1.9)
常数性在固体力学中可解释为保证单元的插值能反映刚体位移。 以上三点性质是选择单元形函数的必要条件。
例1.．研究图1.6所示平面问题３节点三角形单元的形函数。
对于任意一点坐标p(x,y)，节点1、2、3（按逆时针方向）的形函数分别取为
1A12A1N1(x,y)???1A2A1xx2x3yy2y3111x1x2x3y1y2 y3
(3.1.10-1)
1xA22A2N2(x,y)???1x3A2A1x1yy3y11x1y1y2 y3
(3.1.10-2)
1x21x3N3(x,y)?A32A3??1x1A2A1x21xyy1y21x11x21x3y1y2 y3
(3.1.10-3)
其中A为三角形面积，A1,A2,A3含义见图1.6。此3个节点的形函数满足了以上提出的三点性质要求，显然它们都是坐标(x,y)的线性插值函数。
3.1.4 建立待定参数计算方程
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因为有限元法中单元内的问题解近似值只取决所在单元节点的问题解值，与其他节点的解值无关，
所以对于迦辽金法，其区域Ω和边界的等效积分(1.4.6)可以变成
?
ΩNiA(u)dΩ??NB(u)dΓ???(Nij)TA(uij(x))dΩ
TΓTieej?1ejj???(Nij)TA(ui（x))dΓ?0
Me
Me
eej?1eji?(1,2,....,n) (3.1.11)
等效“弱”积分形式(1.4.7)变成
?ΩjC(Ni)D(u)dΩ??E(Ni)F(u)dΓ???CT(Nij)D(ui（x))dΩ
TTMeeeΓj?1ej
???ET(Nij)F(uij(x))dΓ?0 i?(1,2,....,n)
eeej?1jMe(3.1.12)
同理，对于最小势能原理(2.3.12)变成
?p(ui)??Ω(W??fiui)dΩ??ΓfpiuidΓ
Mfe???j?1Meej(W??fiui)dΩ???j?1efjjpiuidΓ
(3.1.13)
其他几种变分也可以化成对区域单元的积分和对边界上单元边界面的积分之和。
对于导数不超过两阶的物理问题，不管采用哪种形式建立的数值计算方程，最终可以得到
KU?P
(3.1.14)
这样形式的方程。如果是对于固体力学问题，K为刚度矩阵，其中的系数由单元的材料参数D（例如弹性力学中的E与?）、物理参数T（例如板结构中的板厚度）、形函数和形函数导数组合而成的代数式对单元的积分，而且是若干单元的积分和，即
kij???R(D,T,N,N')dΩ
e (3.1.15)
而P矢量的分量由单元的体力与形函数组合代数式的积分，应力边界上面力与形函数组合在单元面上的积分所合成，即
pi???eS(f,N)dΩ???Q(p,N)dΓ
ef (3.1.16)
具体如何获得，每个量代表什么物理意义将在下章讨论。虽然形函数为一般的多项式，但是由于形函数形式很多，对不同的类型、不同的结构和材料（3.1.12）和（3.1.13）表达形式都有所不同，所以对它们的单元积分也是采用数值积分方法，并以高斯积分方法为多数。详细刚度矩阵、力矢量、高斯积分、位移与约束条件的解除、方程的求解等内容将在后面章节中讨论。
§3.2节点
与节点密切相关的一个重要的概念是自由度，所谓自由度是问题解u的维数。自由度的多少也同时决定了边界条件维数。在固体力学中，最多自由度可达6个，三个线位移{u,v,w}和三个角位移
{?x,?y,?z}，对应的应力边界条件是线力{X,Y,Z}和力矩{Mx,My,Mz}，一般结构是以上6这个自由度的子集。例如平面应力应变结构为{u,v}；平板结构为{w,?x,?y}；三维实体结构为{u,v,w}；平面框架结构为{u,v,?z}；三维框架结构为全部6个等。当然结构不同建立的基本微分方程也不同，从
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