发布时间 : 星期三 文章2020年河南省濮阳市高考数学一模试卷(文科) (解析版)更新完毕开始阅读c158b731dfccda38376baf1ffc4ffe473368fd9c
△??=
36??2??
2???(??+
3??
2)(??????
?????)=??②，进而求得k＝±1，r＝4，得到圆C的方程为
x2+y2＝16，而直线l过定点点??(√??，??)，故要使|AB|最小，则PC⊥AB，由此再利用垂径定理得解．
解：设其中一条切线的斜率为k，则另一条切线的斜率为?，故切线方程分别为??=????+??，??=???+??，
将y＝kx+r与椭圆方程联立可得x2+3（kx+r）2﹣12＝0，整理得（1+3k2）x2+6krx+3r2﹣12＝0，则△??=???????????????(??+??????)(???????????)=??①， 同理将??=???+??与椭圆方程联立并整理可得(??+△??=
36??2??
21
??1??1??????
2)???????+?????????=??，则??
36??
???(??+
3??
2)(??????
?????)=??②，
由①②联立可得，k＝±1，r＝4， 故圆C的方程为x2+y2＝16，
注意到直线??：????+???√???????=??过定点??(√??，??)，故要使|AB|最小，则PC⊥AB， 又|????|=√(√??)??+??=??，故此时|????|=??√???????=??√??． 故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在等边三角形ABC中，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，则?????????= ? ．【分析】以E为原点，EB、EC分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，可分别写出A、C、E、F的坐标，从而得到????和????，再利用平面向量数量积的坐标运算求解即可．
解：以E为原点，EB、EC分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A（﹣1，0），C（??，√??），E（0，0），F（，√），
2
2
→→√
∴????=(??，?√??)，????=(3，3)，
→
→
→
→
321322→→√
∴?????????=???√??×3=?3．
22故答案为：?．
23
??2??2??614．双曲线??：?2=??(??＜??≤)的离心率的最大值是 √ ．
2????????22【分析】列出双曲线的离心率的表达式，然后转化区间最值即可． 解：双曲线??：2?2=??(??＜??≤2)的离心率为：
????????
2??√
e=2+????????≤√3=√6，当θ=2时取得最大值．
√2√2??2??2
??
2故答案为：
√6． 2
15．已知球O的内接正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，过点P垂直于BD1的平面截球O所得的截面圆的面积为??，则线段PB的长为 32
√32√3或 ． 33【分析】根据题意可知，BD1是球的直径，P是直径的一点，因为截面与BD1垂直，所以PB即为球心到P的距离加上半径，或半径减去P到球心的距离，所以只要算出球心到P的距离即可，由垂径定理不难算出．
解：如图所示，由题意可知BD1是球的直径，P是截面圆的圆心，设O为球心，M为截面圆上任一点，
√
可知则OM＝R，由已知得????=√??，∴??=3，
2设截面圆的半径为r，则??????=
√2??2
，∴????=．∴????=√?????????═√3?2=3． 33436
√√√√√√
∴????=???????=3?3=3，或????=??+????=3+3=23．
263623故答案为：
2√3√3． 或33
16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角B为钝角，设△ABC的面积为S，若4bS＝a（b2+c2﹣a2），则sinA+sinC的取值范围是 （√，] ．
2829【分析】将等式4bS＝a（b2+c2﹣a2）代入面积公式和边化角，可以得到A，B的关系，然后结合内角和定理、诱导公式，可将sinA+sinC转化为函数f（A），结合A的范围求值域即可．
解：因为4bS＝a（b2+c2﹣a2），
所以??????????×????????????=????????(????+?????????)，显然sinA≠0，
2??22??
故????????=??+?????=????????=sin(2???)，因为B是钝角，所以A，???是锐角，
22????1
2所以??+(2???)=??，∴??=2+??．
所以sinA+sinC＝sinA+sin（???(2+??)???）＝sinA+sin（?????）＝sinA+cos2A＝﹣
2
??
??
????
2sin2A+sinA+1，
??＜??＜??√22因为B为钝角，所以{????，解得??＜??＜4．∴????????∈(??，2)． ??＜2?????＜2√
∴令y＝﹣2sin2A+sinA+1，????????∈(??，2)．
??
2这是一个关于sinA的二次函数，对称轴可看成sinA=，开口向下．
91√√
易知，当sinA=时有最大值，????????=2时，y=2是函数的下界，
4228
1
4故sinA+sinC的范围是（故答案为：（
9√2，]． 28
9√2，]． 28
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．已知数列{an}满足2nan＝2n+1an+1﹣1，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且b4b6＝4b5b7，a1＝b1＝1．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
??+1
，??为偶数（Ⅱ）设pn={2，求数列{pn}的前2n项和S2n．
????，??为奇数1为公差的等差数列，【分析】（Ⅰ）先由题设条件得出{2nan}是以2为首项，再求出an，进而解决bn；
（Ⅱ）先求出pn，再利用分组求和求S2n． 解：（Ⅰ）根据题意，????+??????+???????????=??， 所以{2nan}是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以2nan＝2+（n﹣1）×1＝n+1， 所以????=
??+1
??． 2
1
4????因为????????=?????????????????=?????????=，
因为{bn}为正项数列，所以??=． 所以????=()?????．
2??+1??+1，??为偶数，??为偶数22 （Ⅱ）根据题意pn={，∴Pn={1?????
????，??为奇数(2)，??为奇数1
1
2所以S2n＝（p1+p3+…+p2n﹣1）+（p2+p4+…+p2n）， 设
14????=????+????+?+?????????=??+(2)??+(2)??+?+(2)???????=??+4+(4)??+?+
1×[1?(14)]
1?14??
11111
()?????==[???()??]．
352??+1??(??+2)
． ++?+=
22221
??(??+2)??(??+2)14
=?+???1223． 3×4
4
314设????=????+????+?+??????=
4
4
所以??????=????+????=3?3?(4)??+
18．如图，已知圆柱内有一个三棱锥A﹣BCD，AD为圆柱的一条母线，DF，BC为下底面圆O的直径，AD＝BC＝2．
（Ⅰ）在圆柱的上底面圆内是否存在一点E，使得EF∥平面ABC？证明你的结论． （Ⅱ）设点M为棱AC的中点，????=??????，求四棱锥B﹣ADNM体积的最大值．
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