发布时间 : 星期五 文章[数学]2011年江苏高考热点题型聚焦：数列(1)更新完毕开始阅读c17e5419ff00bed5b9f31dad
数列专题解答题
1、已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn，且满足：a2?a4?65，a1?a5?18． （1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若1?i?21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项，求i值；
（3）是否存在常数k，使得数列{Sn?kn}为等差数列，若存在，求出常数k；若不存在，
请说明理由.
解（1） {an}为等差数列，∵a1?a5?a2?a4?18，
又a2?a4?65，∴a2，a4是方程x?18x?65?0的两个根 又公差d?0，∴a2?a4，∴a2?5，a4?13.
2?a?d?5,∴ ?1 ∴a1?1,d?4. ∴an?4n?3.
a?3d?13,?1（2）由1?i?21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项，?a1?a21?ai，
2即1?81?(4i?3) ，解得i?3.
2（3）由(1)知，Sn?n?1?n(n?1)?4?2n2?n, 2假设存在常数k，使数列{Sn?kn}为等差数列， 【法一】由S1?k?1?S3?k?3?2?S2?k?2， 得1?k?1?15?k?3?2?6?k?2, 解得k?1.
?Sn?kn?2n2?2n,易知数列{Sn?kn}为等差数列.
【法二】假设存在常数k，使数列{Sn?kn}为等差数列，由等差数列通项公式可知
设Sn?kn?an?b，
得2n2?(k?1)n?an2?2abn?b恒成立，可得a?2,b?0,k?1.
?Sn?kn?2n2?2n,易知数列{Sn?kn}为等差数列.
【说明】本题考查等差、等比数列的性质，等差数列的判定，方程思想、特殊与一般思想、
待定系数法.
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2、已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为－2的等差数列；am＋1，am＋2，…，
11a2m是首项为，公比为的等比数列（其中 m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N*，均有an＋2m＝
22an成立．
（1）当m＝12时，求a2010；
1（2）若a52＝，试求m的值；
128（3）判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）m＝12时，数列的周期为24．
11∵2010＝24×83＋18，而a18是等比数列中的项， ∴a2010＝a18＝a12＋6＝()6?．
2641（2）设am＋k是第一个周期中等比数列中的第k项，则am＋k＝()k．
211?()7，∴等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项． 1282∴a52最多是第三个周期中的项． ∵
若a52是第一个周期中的项，则a52＝am＋7＝
1． ∴m＝52－7＝45； 1281．∴3m＝45，m＝15； 1281．∴5m＝45，m＝9； 128若a52是第二个周期中的项，则a52＝a3m＋7＝若a52是第三个周期中的项，则a52＝a5m＋7＝
综上，m＝45，或15，或9．
（3）2m是此数列的周期， ∴S128m＋3表示64个周期及等差数列的前3项之和． ∴S2m最大时，S128m＋3最大．
11[1?()m]∵S2m＝10m?m(m?1)?(?2)?22??m2?11m?1?1??(m?11)2?125?1， mm1222421?2当m＝6时，S2m＝31－当m≤5时，S2m＜30163＝30； 646463； 6411212563＝29＜30． )?2464当m≤7时，S2m＜?(7?63＋24＝2007． 64由此可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2010成立． ∴当m＝6时，S2m取得最大值，则S128m＋3取得最大值为64×30
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3、设数列?an?满足a1?0,4an?1?4an?24an?1?1，令bn?4an?1.
⑴试判断数列?bn?是否为等差数列？ ⑵若cn?1，求?cn?前n项的和Sn； an?1⑶是否存在m,n(m,n?N*,m?n)使得1,am,an三数成等比数列？
?解：⑴由已知得an?1????an???an??, 4444??1111即4an?1?1?4an?1?24an?1?1, 所以bn?12?bn2?2bn?1,即bn?1?bn?1, 所以数列?bn?为等差数列；
⑵由⑴得：bn?1?bn?1且b1?1，?bn?n，
n2?1即4an?1?n?an?，
4?cn?4411??2(?)， 2(n?1)?1n(n?2)nn?211111) 则Sn?c1?c2???cn?2(1?)?2(?)???2(?324nn?21112(2n?3)?)?3? ?2(1??；
2n?1n?2(n?1)(n?2)n2?1m2?12?()， ⑶设存在m,n满足条件，则有1?an?a?1?442m即4(n2?1)?(m2?1)2，所以，m2?1必为偶数，设为2t， 则n2?1?t2?n2?t2?1?(n?t)(n?t)?1，
?n?t?1?n?t??1或?，即n?1,t?0， ?有??n?t?1?n?t??1?m2?1?2t?0?m?1与已知矛盾．
?不存在m,n(m,n?N*,m?n)使得1,am,an三数成等比数列．
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