发布时间 : 星期二 文章图论基础知识汇总(适合建模)更新完毕开始阅读c182da290066f5335a812165
用矩阵an?n（n为顶点个数）存放各边权的邻接矩阵，行向量pb、indexindex2、1、
d分别用来存放P标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。其中分
量
?1当第i顶点已标号； pb(i)??0当第i顶点未标号?index2(i) 存放始点到第i点最短通路中第i顶点前一顶点的序号； d(i) 存放由始点到第i点最短通路的值。
求第一个城市到其它城市的最短路径的Matlab程序如下： clear; clc;
M=10000;
a(1,:)=[0,50,M,40,25,10];
a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25]; a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M]; a(4,:)=[zeros(1,4),10,25]; a(5,:)=[zeros(1,5),55]; a(6,:)=zeros(1,6); a=a+a';
pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a)); d(1:length(a))=M;d(1)=0;temp=1; while sum(pb) d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb)); tmpb=find(d(tb)==min(d(tb))); temp=tb(tmpb(1)); pb(temp)=1; index1=[index1,temp]; index=index1(find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1))); if length(index)>=2 index=index(1); end index2(temp)=index; end d, index1, index2 例、用迪克斯特拉算法求出权图中u0 到un 的距离d（u0 ，~S2）及最短路l -9- n 解：（1）S0 ={ u0}，~S0 ={ u1 ，u2 ，u3，u4 ，u5 ，u6 ，u7}， ∵min{1，2，∞，∞，4，8，7}=1， ∴d（u0 ，u1 ）=1，l1 =（u0 ，u1 ），| l1|=1. （2）S1 ={u0 , u1}，~S1 ={u2 ，u3 ，u4 ，u5 ，u6 ，u7}， ∵min{2，∞，∞，4，8，7，1+2，1+3，1+∞，1+∞，1+7，1+∞}=2， ∴d（u0 ，u2 ）=2，l2=（u0 ，u2 ），| l2|=2. （3）S2 ={ u0 ，u1 ，u2},~ S2 ={ u3 ，u4 ，u5 ，u6 ，u7}, ∵min{∞, ∞,4,8,7,1+3,1+∞,1+∞,1+7,1+∞,2+1,2+∞,2+∞,2+∞,2+5}=3, ∴d（u0 ，u3）=3, l3 =（u0 ，u2 , u3），| l3|=3. (4) S3 ={ u0 ，u1 ，u2 , u3}, ~S3 ={ u4 ，u5 ，u6 ，u7}， ∵min{∞, 4,8,7,1+∞,1+∞,1+∞,1+5,2+∞,2+∞,2+∞,2+5,3+6,3+∞,3+ ∞,3+3}=4, ∴d（u0 ，u5）=4, l4=（u0 ，u5 ），| l4|=4. (5) S4 ={ u0 ，u1 ，u2 , u3 , u5}, ~S5 ={ u4 , u6 , u7}， ∵min{∞,8,7,1+∞,1+7,1+∞,2+∞,2+∞,2+5,3+6,3+ ∞,3+3,4+6,4+2,4+3}=6, ∴d（u0 ，u7）=6, l5=（u0 ,u2 ，u3 ，u7），| l5|=6. (6) S5 ={ u0 ，u1 ，u2 , u3 , u5, u7}, ~S5 ={ u4 , u6 }， ∵min{∞,8,1+∞,1+7, 2+∞,2+∞, 3+6,3+∞, 4+6,4+2,6+4,6+∞}=6, ∴d（u0 ，u6）=6, l6=（u0 ,u5, u6），| l6|=6. (7) S6?{u0,u1,u2,u3,u5,u7,u6},~S6?{u4}, ?min{?,1??,2??,3?6,4?6,6?4,6?4}?9 ?d(u0,u4)?9,l7?(u0,u2,u3,u4},|l7|?9 故从 -10- u0 到其余各点的最短距离分别为： l1?(u0,u1),l2?(u0,u2),l3?(u0,u2,u3), l4?(u0,u5),l5?(u0,u2,u3,u7),l6?(u0,u5,u6),l7?(u0,u2,u3,u4) MATLAB函数 function [l,z]=Dijkstra(W) n = size (W,1); for i = 1 :n l(i)=W(1,i); z(i)=1; end i=1; while i<=n for j =1 :n if l(i)>l(j)+W(j,i) l(i)=l(j)+W(j,i); z(i)=j; if j W =[ 0 2 1 8 Inf Inf Inf Inf 2 0 Inf 6 1 Inf Inf Inf 1 Inf 0 7 Inf Inf 9 Inf 8 6 7 0 5 1 2 Inf Inf 1 Inf 5 0 3 Inf 9 Inf Inf Inf 1 3 0 4 6 Inf Inf 9 2 Inf 4 0 3 Inf Inf Inf Inf 9 6 3 0 ]; Dijkstra(G，D，s){ //用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度 //以下是初始化操作 S={s}；D[s]=0； //设置初始的红点集及最短距离 for( all i∈ V-S )do //对蓝点集中每个顶点i D[i]=G[s][i]； //设置i初始的估计距离为w for(i=0;i D[k]=min{D[i]：all i V-S}； //在当前蓝点集中选估计距离最小的顶点k if(D[k]等于∞) return； //蓝点集中所有蓝点的估计距离均为∞时， //表示这些顶点的最短路径不存在。 S=S∪{k}； //将蓝点k涂红后扩充到红点集 -11- for( all j∈V-S )do //调整剩余蓝点的估计距离 if(D[j]>D[k]+G[k][j]) //新红点k使原D[j]值变小时，用新路径的长度修改D[j]， //使j离s更近。 D[j]=D[k]+G[k][j]； } } 3.2 每对顶点之间的最短路径 计算赋权图中各对顶点之间最短路径，显然可以调用Dijkstra算法。具体方法是：每次以不同的顶点作为起点，用Dijkstra算法求出从该起点到其余顶点的最短路径，反复执行n次这样的操作，就可得到从每一个顶点到其它顶点的最短路径。这种算法的时间复杂度为O(n3)。第二种解决这一问题的方法是由Floyd. R.W提出的算法，称之为Floyd算法。 假设图G权的邻接矩阵为A0， ?a11?aA0??21????an1a12a22?an2?a1n??a2n?? ?????ann?来存放各边长度，其中： aii?0 i?1,2,?,n； aij?? i,j之间没有边，在程序中以各边都不可能达到的充分大的数代替； aij?wij wij是i,j之间边的长度，i,j?1,2,?,n。 对于无向图，A0是对称矩阵，aij?aji。 Floyd算法的基本思想是：递推产生一个矩阵序列A0,A1,?,Ak,?,An，其中 Ak(i,j)表示从顶点vi到顶点vj的路径上所经过的顶点序号不大于k的最短路径长 度。 计算时用迭代公式： Ak(i,j)?min(Ak?1(i,j),Ak?1(i,k)?Ak?1(k,j)) k是迭代次数，i,j,k?1,2,?,n。 最后，当k?n时，An即是各顶点之间的最短通路值。 例10 用Floyd算法求解例1。 矩阵path用来存放每对顶点之间最短路径上所经过的顶点的序号。Floyd算法的Matlab程序如下： clear; clc; M=10000; a(1,:)=[0,50,M,40,25,10]; a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25]; a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M]; a(4,:)=[zeros(1,4),10,25]; -12-