发布时间 : 星期一 文章浙江省温州市高中数学 第一章 算法初步 割圆术教学设更新完毕开始阅读c18db686b34e852458fb770bf78a6529647d35e0
割圆术
一、教学背景分析 （一）教学内容解析
本节课虽非普通高中课程标准实验教科书的内容，但人教A版必修3中的第一章《算法结构》的“阅读与思考”内容以刘徽的“割圆术”为载体，让学生通过了解“割圆术”的基本特点及其中蕴含的递推思想与迭代算法，体会“割圆术”是几何算法阶段计算圆周率的既有效又科学的方法，又让学生感受到计算工具的不断发展，为圆周率的计算乃至整个数学学科的发展带来前所未有的突破。
在数学史上，简洁而精确的圆周率求法，曾经是数学家们不懈追求的目标，在不同历史阶段，各个国家的数学家们提出了形形色色的圆周率近似值求法，如经验实测方法，蒙特卡洛方法，刘徽割圆术，阿基米德割圆术，级数逼近等等。每一次方法的改进，都在严密性与精确性的角度上体现了重要的数学思想，因此在高中阶段，让学生了解和学习各种不同的圆
周率近似值的求法，并对这些方法进行比较与分析，是十分必要的。 （二）学生学情分析
在深化课改的背景下，现阶段的学生并没有学过如何求圆周率，只有人教A版必修3中的第一章《算法结构》的“阅读与思考”内容是以刘徽的“割圆术”为载体，通过算法知识来介绍求圆周率， 但是，必修3中算法的相关知识，也没有学过，在算法的建构方面存在一定的困难，同时对圆周率?的认知基本上停留在能背出小数点后多少位，却不知圆周率
?是如何得到的。
学生通过课前资料收集和阅读思考，对历史上几种不同的圆周率求法进行了初步的了解，同时以教材中的“阅读与思考”内容，同时也是历史上完备性最好，且具有算法思想的刘徽的“割圆术”作为重点介绍内容，让学生领悟刘徽的割圆术中所蕴含的递推思想及迭代算法。对于刘徽割圆术的掌握，对学生来说是一个挑战，圆内接正多边形的面积公式的递推关系的推导对学生来说是十分困难的．根据教学内容解析和学情分析，我确定本节课的教学
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重点和难点如下：
重点：在学生通过课前阅读与课外查阅与研究所了解的有关求圆周率的方法的基础上，对各种不同的方法进行简要的介绍与对比，同时深入探究刘徽割圆术的思想方法，获得面积递推公式，同时体会其中蕴含的递推思想与迭代算法．
难点：割圆术中“内外夹逼”的极限思想与算法实现过程中递推关系的建立．
二、教学目标设置
依据课程标准，基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：
（一）让学生经历从直观感受到随机模拟，最后到严格推理，然后以计算机实现近似值求解的过程，既对相关数学史有所了解，同时又让学生体会了求解圆周率的历史实质是运算工具的发展史．
（二）理解割圆术对于圆周率估计的完备性与精确性，以及求解过程中所蕴含的递推思想，体会计算机程序迭代算法和割圆术的应用价值． （三）了解求解圆周率的历史，感受数学的文化价值．
三、教学策略分析
本节课在教学材料的组织上选择了让学生课前探究求解圆周率?的方法，自主学习刘徽的割圆术，并以小组交流的形式汇报阅读成果. 应用问题探究式教学方式，对课本介绍的刘徽的割圆术进行再思考，让学生自主探究如何方便地计算圆内接正多边形的面积．借助Ｅxcel软件的迭代功能实现算法，完成对圆周率?的近似值的初步估计. 因此本节课采用学生课前阅读与课内思考相结合的方式，让学生体会以阅读学习所获得的知识为基础，在经过再思考后，获得对问题的深刻理解的过程；同时采用公式的理论推导和信息技术相结合的手段，让学生体会到中国古代数学中所蕴含的算法思想，给学生提供了一次动手实践、还原历史的经历． 四、教学过程
为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下五个阶段： 分别从数学史的发展角度，与方法的完备性角度来逐步递进探索并对比不同方法的优劣。 下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明.
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呈现背景 探索方法 完善方法 实现算法 归纳小结 （一）呈现背景
【学生活动】学生课前查阅圆周率?的相关知识，自主学习刘徽的割圆术，并相互交流对圆周率的认识。（请看视频）
【教师总结】那圆周率的值到底是多少呢？又是如何得到的呢？在绵延的历史长河中， 人们又是怎样 “计算” 圆周率 的呢？ 【设计意图】
从数学史与数学文化的角度，来引起学生对于圆周率求解方法的兴趣，为后面各种方法的介绍做好铺垫。 （二）探索方法 【第一组：实测法】
第一小组学生代表介绍：“用实测的方法求圆周率?” （请看视频）
【学生活动】学生讨论实测法的不准确之处：
1.圆周是曲线，用细绳去拟合时，存在误差。2.测量长度时，存在误差。 【教师总结】尺子的精度越高，得到的测量值可能会越准确。精度再高的刻度尺 也无法量得线段长的真实值。其实，早在明代就有一位名叫邢云路的数学家，他 就用实测的方法求圆周率， 后来茅以升这样评价他：“云路欲以度量所得，抹煞 古人诸率，所见甚浅。”可见，实测的办法是比较粗糙的。 【设计意图】
通过实测与经验来估计圆周率的近似值，是人类历史上最早采用的方法，但这种方法在数学上既不严密，同时所求得的近似值的精确度也无法保证，在课前让学生通过实验，切身体会到用实测的方法求圆周率?是比较粗糙的。 【第二组：布丰投针】
第二小组学生代表介绍：“用布丰投针实验求圆周率?”
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【学生活动】求解任意给出3个正数，以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率。 解：设这三个正数为a，b，c，不妨设a，b?c， 由以a，b，c为边长可以围成一个钝角三角形 得：a?b?c，a2?b2?c2， ?a??b?变形，得：a?b?1，??????1， cc?c??c??0?x?1ab令x?,y?，则?， ?0?y?1cc??x?y?122??x?y?12222由线性规划可知：满足题意的可行域为直线y??x?1与圆x?y?1围成的弓形，总的区域是一个边长为1的正方形。 -S弓形?-2?42?则可以围成一个钝角三角形的概率P?。
S正方形14【教师总结】早在1904年，R查特发现，两个随意写出的整数中，互素的概率 为6。然后，我们可以通过“像投针一样的操作实验”或者“让计算机产生随
?1?2机数，进行计算机模拟实验”，从而得到实验频率，求出圆周率的近似值。 【设计意图】布丰投针实验至少给了我们两大启示：1.可以利用概率原理来解释 圆周率的计算，虽然实验结果具有随机性；2.投针实验拓宽了人们运用数学知识 解决复杂问题的渠道，它已发展为一种新的数学方法——统计实验法，也就是著
名的蒙特卡罗法。利用概率论的大数定律，可以保证用该方法求得的近似值在概率意义上是
收敛于真实值的，但所得结果的精确度无法准确估计，因此相对于实测的方法，有所进步，但仍不够完善。 【第三组：割圆术】
第三小组学生代表介绍：“刘徽的割圆术”
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