发布时间 : 星期日 文章山东省枣庄市滕州一中新校高考数学3月模拟试卷 文(含解析)更新完毕开始阅读c1b552d648fe04a1b0717fd5360cba1aa9118c65
（Ⅱ）由求得角A的正弦值，利用同角三角函数的基本关
系求得角A的余弦值，在利用余弦定理求边a的长． 解答： 解：（Ⅰ）由向量
，
得，∴∵∴∴当
函数g（x）在区间（Ⅱ）∵由
，
∴
．
或
，
，即，
，
时，
上的最大值为；
，，得
，
．
，
，且
又∵0＜A＜π，解得：
由题意知：bc=8，b+c=7， 2222
∴a=b+c﹣2bccosA=（b+c）﹣2bc（1+cosA）=33﹣16cosA，
22
则a=25或a=41， 故所求边a的长为5或．
点评： 本题考查了平面向量数量积的运算，考查了三角函数的对称变换，训练了余弦定理的应用，是中档题． 17．（12分）在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
考点： 众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．
分析： （Ⅰ）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数．
（Ⅱ）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分． （Ⅲ）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率． 解答： 解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人， 所以该考场有10÷0.25=40人，
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为： 40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；
（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：
×[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9；
（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A， 所以还有2人只有一个科目得分为A，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，
则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：
Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个， 则P（B）=．
点评： 本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB． （Ⅰ）证明：PB∥面AEF； （Ⅱ）证明：AD⊥PB．
考点： 直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： （Ⅰ）由已知条件得知一角形中位线定理推导出EF∥PB，由此能证明PB∥面AEF． （Ⅱ）由PA⊥面ABCD，PA⊥AD，由EA=EB，E为BD的中点，推导出AD⊥面PAB，由此能证明AD⊥PB．
解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为E、F分别为BD、PD的中点， 所以EF∥PB…（2分）
因为EF?面AEF，PB?面AEF 所以PB∥面AEF…（5分）
（Ⅱ）证明：因为PA⊥面ABCD， 所以PA⊥AD…（7分）
因为EA=EB，所以∠ABE=∠BAE， 又因为E为BD的中点， 所以∠ADE=∠DAE，
所以2（∠BAE+∠DAE）=180°，
得∠BAE+∠DAE=90°，即BA⊥AD，…（10分） 因为PA∩AB=A，所以AD⊥面PAB， 所以AD⊥PB．…（12分）
点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
19．（12分）在数列{an}（n∈N）中，其前n项和为Sn，满足（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设
，求数列{bn}的前n项和Tn．
*
．
考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （Ⅰ）由
，求出
，再由an=Sn
﹣Sn﹣1，能求出数列{an}的通项公式． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：
解答： 解：（Ⅰ）由题设得：∴
，由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn．
，
∴an=Sn﹣Sn﹣1=1﹣n（n≥2）…（2分） 当n=1时，a1=S1=0，
∴数列{an}是a1=0为首项、公差为﹣1的等差数列， ∴an=1﹣n．…（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知：
0
﹣1
，
﹣2
﹣3
1﹣
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=1?2+2?2+3?2+4?2+…+n?2
n
…（8分）
．
．…（12分）
两式相减得：=∴
点评： 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
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20．（13分）已知函数f（x）=x﹣2lnx，h（x）=x﹣x+a． （Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的极值；函数的零点．