发布时间 : 星期一 文章（全国通用版）2020高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案 文更新完毕开始阅读c1e01b6cbf64783e0912a21614791711cc7979d6
式以及双曲线的定义可知2r＝|PF1|＋|PA|－|AF1|＝|PF1|＋|PA|－|AF2|＝|PF1|－(|AF2|－|PA|)＝|PF1|－|PF2|＝2a，求得r＝a，故选A.
x2y2
3．(2018·天津)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直
ab线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 39C.－＝1 412答案 A
解析 设双曲线的右焦点为F(c,0)．
x2y2x2
B.－＝1 93D.－＝1 124
x2y2x2
y2y2
x2y2c2y2
将x＝c代入2－2＝1，得2－2＝1，
ababb2
∴y＝±.
ab??b??不妨设A?c，?，B?c，－?. a??a??
双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，
2
2
ba则d1＝
?b·c－a·b??a???|bc－b2|bb2＋?－a?2
2
2
＝c＝(c－b)，
cd2＝?b·c＋a·b??a???|bc＋b2|bb2＋?－a?2
bc＝c＝(c＋b)，
c∴d1＋d2＝·2c＝2b＝6，∴b＝3. ∵＝2，c＝a＋b，∴a＝3， ∴双曲线的方程为－＝1.
39故选A.
ca2222
x2y2
x2y2
4．(2018·全国Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过
abF2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为( )
A.5 B．2 C.3 D.2 答案 C
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解析 如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，
由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形． 因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a. 又|PF1|＝6a＝|F2P′|，|PP′|＝2a， 所以|F2P|＝2a＝b，
所以c＝a＋b＝3a，所以e＝＝3.
5．(2018·全国Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________. 答案 2
??y1＝4x1，
解析 方法一 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则?2
?y2＝4x2，?
22
22ca
∴y1－y2＝4(x1－x2)，∴k＝
22
y1－y24
＝. x1－x2y1＋y2
设AB的中点为M′(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足为A′，B′，
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则|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)
221
＝(|AA′|＋|BB′|)． 2∵M′(x0，y0)为AB的中点，
∴M为A′B′的中点，∴MM′平行于x轴， ∴y1＋y2＝2，∴k＝2.
方法二 由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为y＝k(x－1)，直线方程与
y2＝4x联立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
2k＋4
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，x1＋x2＝2. 2
k→
由M(－1,1)，得AM＝(－1－x1,1－y1)， →
BM＝(－1－x2,1－y2)．
→→
由∠AMB＝90°，得AM·BM＝0， ∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
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∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.
又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，
2
2k＋4??2k＋4?2k＋42?∴1＋2＋1＋k?1－2＋1?－k?2－2?＋1＝0，
2
2
2
k?
k??k?
44
整理得2－＋1＝0，解得k＝2.
kkx2y2x2y2
6．(2018·北京)已知椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)，双曲线N：2－2＝1.若双曲线N的两条渐
abmn近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________． 答案
3－1 2
解析 方法一 双曲线N的渐近线方程为y＝±x，则＝tan 60°＝3，
nmnmn2
∴双曲线N的离心率e1满足e＝1＋2＝4，∴e1＝2.
m21
??y＝3x，由?x2y2
2＋2＝1，??ab
a2b2
得x＝22.
3a＋b2
如图，设D点的横坐标为x，
由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x＝c. 4ab224224
∴22＝a－b，得3a－6ab－b＝0， 3a＋b6b?b?2b∴3－2－?2?＝0，解得2＝23－3.
2
2
2
22
2
2
a?a?
ab2
∴椭圆M的离心率e2满足e＝1－2＝4－23.
a22
∴e2＝3－1.
方法二 双曲线N的渐近线方程为y＝±x， 则＝tan 60°＝3.
又c1＝m＋n＝2m，∴双曲线N的离心率为＝2.
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2
2
nmnmc1m如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形的边长为1， 则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1.
又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋3＝2a， 1＋3∴a＝. 2
∴椭圆M的离心率为＝
c22
＝3－1.
a1＋3
2
7．(2018·衡阳模拟)已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C3222
交于A，B两点，且直线l与圆x－px＋y－p＝0交于C，D两点，若|AB|＝3|CD|，则直线
4
l的斜率为________．
答案 ±
2 2
32?p??p?22222
解析 由题意得F?，0?，由x－px＋y－p＝0，配方得?x－?＋y＝p，
4?2??2?
p??所以直线l过圆心?，0?，可得|CD|＝2p，
?2?
若直线l的斜率不存在，则l：x＝，|AB|＝2p，|CD|＝2p，不符合题意，
2∴直线l的斜率存在．
∴可设直线l的方程为y＝k?x－?，
?2?
p?
p?A(x1，y1)，B(x2，y2)， p???y＝k??x－2?，??联立???y2＝2px，
2
2
?2p?p化为x－?p＋2?x＋＝0，
?k?4
2p所以x1＋x2＝p＋2，
k所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＋由|AB|＝3|CD|，所以2p＋
2pk2
，
2p2＝6p，
k122
可得k＝，所以k＝±.
22
x2y21
8．(2018·郑州模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且离心率为，△ABCab2
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