发布时间 : 星期三 文章第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用更新完毕开始阅读c21e6589f6ec4afe04a1b0717fd5360cbb1a8df1
2π
又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，
3即A，B两点间的距离为7.
π
2t＋?，y2＝－2sin 2t， (2)依题意，y1＝sin?3??
ππ33
2t＋?－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝3cos?2t＋?， 所以y＝sin?3?3???22π
2t＋?(t＞0)， 即函数关系式为y＝3cos?3??
ππ1πππ4π
0，?时，2t＋∈?，?，所以cos?2t＋?∈?－1，?，故当t∈?0，?时，y∈当t∈?3??2??2???2?3?33?
?－3，3?. 2??
三角函数模型在实际应用中体现的两个方面
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；
(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识．
某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数
关系：f(t)＝10－3cosππ
t－sin t，t∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为________℃. 1212
3π1π?
cost＋sint ?212212?
解析：因为f(t)＝10－2?
ππ
t＋?，又0≤t<24， ＝10－2sin??123?πππ7π
所以≤t＋<，
31233ππ
t＋?≤1. 所以－1≤sin??123?ππ
t＋?＝1； 当t＝2时，sin??123?ππ
t＋?＝－1. 当t＝14时，sin??123?于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
答案：4
[基础题组练]
ππ
2x－?在区间?－，π?上的简图是( ) 1．函数y＝sin?3???2?
πππ3π
－?＝－，排除B，D．令x＝，得y＝sin?2×－?解析：选A．令x＝0，得y＝sin??3??63?26＝0，排除C．
π?π
2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f??6?的值2是( )
A．－3 C．1
B．
3
3
D．3
π?πππ
解析：选D．由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以f??6?2ω2π
＝tan＝3.
3
A
3．已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则( )
2
A．A＝1 π
C．ω＝
3
B．A＝3 3
D．ω＝ π
AA
解析：选C．由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝cos ωx，即＝1，
22
2ππ
A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asin ωx.由f(x)的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝. ω3
π
2x＋?的图象，只需将函数y＝sin 2x4．(2020·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos?3??的图象( )
5π
A．向右平移个单位长度
125π
B．向左平移个单位长度
125π
C．向右平移个单位长度
65π
D．向左平移个单位长度
6
ππ－2x?＝cos?2x－?， 解析：选B．因为y＝sin 2x＝cos?2??2??
5πππ5π
2x＋?＝cos?2?x＋12?－?，y＝cos?所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度3??2????12π
2x＋?的图象．故选B． 可得到函数y＝cos?3??
2π
ωx＋?(ω>0)的最小正周期为4π，则下列叙述中正确的是5．(多选)已知函数f(x)＝cos?3??( )
π
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
3B．函数f(x)在区间(0，π)上单调递增
π
C．函数f(x)的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
31
D．函数f(x)在区间[0，π]上的最大值为－ 2
12π?π2π15πx＋.因为f??＝cos≠±解析：选CD．由题意知＝4π，则ω＝，所以f(x)＝cos??23??3?ω26π
1，所以直线x＝不是f(x)图象的对称轴，A错误；
3
12π2π7π?12π2π1
，，当x＋∈?，π?时，f(x)单调递减；当x因为x∈(0，π)，所以x＋∈??23?36?23?327π2π2π1
π，?时，f(x)单调递增，所以f(x)在[0，π]上的最大值为cos＝－，B错误，D＋∈?6?3?32π2π1π
x－?＋?正确；f(x)的图象向右平移个单位长度后得到图象的函数解析式为g(x)＝cos?2?3??3?3?1π?1
x＋＝－sinx，是奇函数，图象关于原点对称，C正确． ＝cos??22?2
π
6．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标
10伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．
π
解析：y＝sin x向右平移10个单位长度y＝
—————→
π横坐标伸长到?1x－π?. x－?―sin?―→y＝sin?10?原来的2倍?210?1π
x－? 答案：y＝sin??210?
ππ
2x－?的图7．函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin?3??2象重合，则φ＝________．
π
解析：把函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，得到y＝cos (2x－π
2＋φ)的图象，
ππ2x－?的图象重合，则cos (2x－π＋φ)＝sin?2x－?， 与函数y＝sin?3?3???ππ
2x－＋φ?＝sin?2x－?， 即sin?23????πππ所以－＋φ＝－，则φ＝，
236π答案：
6
π
ω＞0，|φ|＜?的部分图象如图所示，则ω＝________，8．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)?2??函数f(x)的单调递增区间为________．
ππTπ2π
－?＝，解析：由图象知＝－?则周期T＝π，即＝π，则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．由
23?6?2ωπππππ－?＋φ＝2kπ，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin?2x＋?.令2kπ－≤2x五点对应法得2×?3??6??232ππ5ππ
＋≤2kπ＋，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为321212
?－5π＋kπ，π＋kπ?，k∈Z.
12?12?