发布时间 : 星期五 文章第四章 共轭空间-黎永锦更新完毕开始阅读c266bc5948d7c1c708a14544
4.2 自反Banach空间
对于赋范空间X,可以讨论X的共轭空间X和二次共轭空间X等,当然还可以讨论三次共轭空间X二次共轭空间X***********,如c0?l1, c0?l?和四次共轭空间X****等,赋范空间X的性质与它的
有着密切的联系.
* 对于任意x?X,可以构造出X的线性泛函如下：
x**(f)?f(x),这里f?X*.
则由
|x**(f)|?|f(x)|?||f||?||x||
*******可知x为X上的线性连续泛函,且||x**||?||x||. 因而对于任意 x?X,x?X,若定义
Jx?x**,则J为X到X**的映射.
映射J称为X到X**的自然嵌入,它有下面的性质.
定理4.2.1 设X是赋范空间,J:X?X**,则J是X到X**的保范线性算子,即
（1）J(?x??y)??Jx??Jy； （2）||Jx||?||x||. 证明 （1）对任意f?X*,有
J(?x??y)(f)?f(?x??y)??f(x)??f(y)
??Jx(f)??Jy(f)?(?Jx??Jy)(f)
*（2）对任意x?X,x??,由Hahn?Banach定理可知,存在f?X,||f||?1,使得
f(x)?||x||,故
||x||?|f(x)|?|Jx(f)|?||Jx||?||f||?||Jx||
因此,由||Jx||?||x**||?||x||可知||Jx||?||x||.
记JX?{x|**x?X},则JX?X**,且J是X到JX的保范同构,因而可以把X和
JX看成一样的赋范空间,亦即不区分X和X**,在这种意义下,X可看成X**的子空间,即
X?X**.
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一般来说,JX与X**是不相等的,如果JX?X**的话,赋范空间X就具有很好的性质.
1927年 H.Hahn 在研究赋范空间的线性方程时,认识到了这种空间的重要性,引入了自反这一概念.
定义4.2.1 设X是赋范线性空间,若从X的X则称X是自反的.
**自然嵌入映射J是满射,即JX?X**,
c0,l1,l?和C[0,1]都不是自反的,但lp(1?p??)是自反的.
明显地,若X是自反的,则X与X**保范同构.
**问题4.2.1 若X是Banach空间,X与X保范同构时,是否X一定自反？
R.C.James在1951年已构造了一个非自反的Banach空间X,X与X**保范同构,但X不是自反的.(参见：R. C. James, A non-reflexive Banach space isometric with its second
conjugate space. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 37, (1951), 174-177.).
由于X自反时,有X**?X,因此X一定是完备的赋范空间.
定理4.2.2 若X是自反的赋范空间,则X是Banach空间.
怎么才能知道一个赋范空间是自反的呢？R.C.James花了二十年的时间研究这一问题,得到了一个很简明的判别法.(参见：R. C. James, Reflexivity and the supremum of linear functionals. Ann. of Math. (2) 66 (1957), 159–169.)
*定理 4.2.3 Banach空间X是自反的当且仅当对任意f?X,存在x?X,||x||?1,使
得f(x)?||f||.
利用这一定理,容易证明任意有限维Banach空间是自反的.
定理4.2.4 若Banach空间X是有限维的,则X是自反的Banach空间.
*证明 对于任意f?X,由||f||?supf(x),可知存在xn?X,||xn||?1,使得
||x||?1故{xn}有收敛子列xnk?x,从而f(xn)?||f||.由于X是有限维的,因此闭单位球是紧的，
||x||?lim||xnk||?1,满足f(x)?limf(xnk)?||f||,所以X是自反的Banach空间.
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定理4.2.5 若Banach空间X是自反的,则X可分当且当仅X可分. 证明 明显地,只须证明X可分时,X可分. 由于X是自反的,因此X时,X******?X,故X可分
可分,所以X是可分的.
**由于l1?l?,并且l1可分,l?不可分,因此由上面定理可知,l1不是自反Banach空间.
Banach空间的自反性有很多重要的性质,下面就是一些自反的充要条件. 定理4.2.6 若X是Banach空间,则下列条件都是等价的. (1) X是自反Banach空间;
(2) X的每个闭线性子空间都是自反Banach空间;
(3) X的每个闭凸集A都有范数最小元,即存在x0?A,使得||x0||?inf{||x|||x?A}; (4) X的每个闭凸集A都是可逼近集,即对任意x?X,都一定存在x0?A,使得
||x?x0||?inf{||x?y|||y?A}.
4.3 弱收敛
在赋范空间X中序列{xn}的收敛定义为||xn?x||?0,即xn依范数收敛于x,这种收敛性亦为强收敛,但在X和X上还可以定义比范数弱的收敛性,这就是弱收敛性和弱*收敛,这些收敛性在研究X和X的性质以及它们的联系时起着重要的作用.
定义4.3.1 设X是赋范空间,xn?X若x0?X,若对任意f?X,都有
***f(xn)?f(x0)
则称{xn}弱收敛于x0,记为xn???x0
*例4.3.1 设{en}为c0的Schauder基,则对于任意f?c0,有??(?i)?l1,使得f??,故 *w成立,即en?f(en)??n,因此f(en)?f(?)?0对任意f?c0?.
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w定理4.3.2 设X是赋范空间,{xn}?X,若xn?x,则xn?x.
证明 由于xn?x,因此||xn?x||?0,故对于任意f?X*,有
|f(xn)?f(x)|?|f(xn?x)|?||f||?||xn?x||?0,
w所以xn?x.
ww一般来说,xn?x 时,不一定有xn?x,例如在c0中,en??,但||en??||?0不成
立.
由Hahn?Banach定理容易知道,若{xn}?X是弱收敛序列,则{xn}的弱收敛点唯一.
ww即xn???x,且xn???x'时,有x?x.
'虽然xn???x时,一般xn???x不成立,但有一些赋范空间,弱收敛与强收敛是一致的.
w定理4.3.3 若X是有限维Banach空间,则xn?x0当且仅当xn?x0.
w证明 明显地,只须证明对于有限维Banach空间,xn?x0时,一定有xn?x0.
mmw设e1,?,em为X的Schauder基,则对xn?X,x0?X,有xn??i?1xi(n)ei,x0??xi?1(0)iei
由于e1,?,em 是Schauder基,因此ei?span{ej|j?i},故由Hahn?Banach定理可知存在fi?X*,使得fi(ei)?1,且fi(ej)?0,j?i.
w由xn?x0可知fi(xn)?fi(x0),因此xi(n)?xi(0).
因而
||xn?x0||?||?i?1mxi(n)ei??i?1mxi(0)ei||??|xi?1m(n)i?xi(0)|?||ei||?0(n?0)
所以,序列{xn}强收敛于x0.
w问题4.3.1 若X是Banach空间,且有xn?x时,xn?x,则X是否一定是有限维
Banach空间？
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