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反折运算
反折运算不会改变信号的周期性，也不改变周期信号的基本周期和基本频率； 若反折运算之前信号的傅氏级数表达为 x?t??k????a?k?ejk?0t
则反折运算之后的信号傅氏级数可以表达为 y?t??x??t??k????a?k?ejk?0??t??由上式可以看出，当周期信号进行反折时，其频率分量的坐标发生反折：每个频率分量的幅度都不发生变化，只是所处的频率点进行变化，正频率区间的频率分量与负频率区间的频率分量发生位置对换；
在实际工程中，通常信号都是实信号，其幅度频谱和相位频谱都具有对称性，对于这样的信号，反折运算对其信息分布不会产生影响。 微分运算
微分运算不会改变信号的周期性，也不改变周期信号的基本周期和基本频率； 若微分运算之前信号的傅氏级数表达为 x?t??k???k????a??k?ejk?0t
?a?k?ejk?0t
则微分运算之后的信号傅氏级数可以表达为 y?t??x'?t??k????a?k?jk?0?ejk?0t
由上式可以看出，当周期信号进行微分时，其每个频率分量被乘以因子jk?0；
该因子在幅度上等同于频率分量的频率值，低频信号乘的数值较小，高频信号乘的数值较大，这样就使得频谱分布的低频部分受到衰减，而高频部分则受到放大；因此，这种运算具有高通性质；特别需要注意的是，微分运算之后的傅氏级数表达中，当k=0时，对应频率分量一定为零，这意味着微分后的信号不会包含常数分量（直流分量）；
从相位上考虑，微分运算会给每个频率分量附加90度相位，有时候将这种操作称为90度移相操作。
共轭运算—共轭对称性
由于频率分量为复数表达，还可以考察复数所具有的特殊运算—共轭运算所导致的影响。 对信号的共轭运算不会改变信号的周期性，也不会影响周期信号的基本周期和基本频率，对于这一点，可以将信号分解为实部和虚部两部分进行分析：当信号为周期信号时，其实部和虚部应该都是具有同样基本周期和基本频率的周期信号，否则无法实现平移不变性；而共轭运算对于实部是不变，对于虚部是反相运算，这些运算显然不会对信号想周期性产生任何影响。 若微分运算之前信号的傅氏级数表达为 x?t??k????a?k?ejk?0t
则共轭运算之后的信号傅氏级数可以表达为 y?t??x*?t??k????a*k??e??jk?0t?由上式可见，对信号进行共轭运算时，频率分量发生的改变包含2方面：频率分量值改变为其共轭量，频率坐标发生反折；
实际工程中测试处理的信号通常都为实信号，共轭运算对这种信号不应该产生影响，而从频谱变化的角度看，这就意味着经过频率分量值取共轭、频率坐标反折后，频率分量不应该发生变化，将频率分量按照实部、虚部、幅度、相位的方式分别考虑这种情况，就可以得到一系列的对称关系：
k???jk?0t a*?e??k?ak?Re?ak??jIm?ak??ak?ej?ak a*?k?Re?a?k??jIm?a?k??a?k?e?j?a?k
若考虑以上两式相等，分别考虑实部、虚部、幅度、相位的相等，可以得到：
当信号为实信号时，其频谱的实部和幅度一定是偶函数，频谱的虚部和相位一定是奇函数；这种对称性称为共轭对称性。
如果时间信号本身还具有对称性（奇函数或偶函数），则还可以得到更多的限制条件： 对于实偶函数，对应频谱一定是实偶函数，其虚部一定为0，相位只能为0或?； 对于实奇函数，对应频谱一定是虚奇函数，其实部一定为0，相位只能为??/2；
除了以上已经讨论过的基本运算影响外，在傅氏级数分析中还有一些重要的积分或求和关系，这些关系经常用于数学运算中使运算得到简化，以下对此进行简单介绍。
功率关系
实际应用的周期信号都是功率信号，其平均功率表现为有限值；
当功率信号被分解为单频率信号时，其功率也就表现为各单频率信号功率之和，可以由其频率分量的平方表达；
因此，可以建立以下功率关系 1 上述关系式中，左边是连续时间函数的积分，右边为离散频率函数的求和，其运算复杂程度显然是有所差别的，这就形成了将复杂的运算转换为简单运算的机会。
零点值计算关系
在时间信号的傅氏级数的表达式中，若将时间坐标设置为0，可以得到以下表达
T?Tx?t??dt?2k????ak ?2x?0?? 由该表达可以看出，对全部频率分量求和，就可以得到时间信号的零点值；
上式左边是一个常数，右边是对频率函数的无限求和，利用该表达式，可以方便地判断无限求和的收敛性，简化无限求和的计算，因此该表达式经常用于无限求和的计算。
k????a?k
在频率分量的积分表达中，若将频率坐标设置为0，可以得到以下表达
a0?1T?Tx?t??dt 由该表达可以看出，对一个基本周期中的时间信号进行积分，并处以基本周期长度，就得到零频率分量表达；这种计算实际上表达了时间信号在一个基本周期内的平均值，对于实信号，这种平均值一定为实数，而零频率分量也称为信号的直流分量。
上式左边是一个常数，右边是对时间函数的积分，利用该表达式，可以简化一些特定积分的计算。
本课参考教材章节：
第三章 3.5
第12次课
3.3 周期信号频率分量的计算
从理论上说，只要满足收敛性条件，任何周期信号都可以通过计算积分表达式得到对应的频率分量；然而，由于信号解析表达和积分的复杂度，在进行频率分量计算时，常常根据具体信号的情况采用不同的计算方法。
本节将通过典型信号的例题，对频谱计算的几种典型方法进行介绍。
频率分量求解1：直接使用积分表达式求解
这种方法通常用于对最简单的周期信号求频率分量。
例1 冲激串的频谱
冲激串是由冲激信号构成的周期信号，可以表达如下
x?t??该表达式表达由强度为1的冲激构成的冲激串，基本周期为T，并且在t=0处有一个冲激； 在每个基本周期中，只包含一个标准冲激信号，其积分结果为1，因此任何频率分量都表现为周期的倒数。 ak?k??????t?kT????t?
T?1T??jk?t???t?e?dt??01TT????t??dt?T1T 从傅氏级数系数的角度看，冲激串的频率分量表现为常数；而从频率坐标的角度看，其频谱也表现为冲激构成的周期函数，每个冲激的强度为1/T，而频率周期为 ?0?
2? T例2 常数的频谱
常数可以看做是一种特殊的周期信号，它一定是满足平移不变性的；在任何一个周期中，它都表现为相同的常数。
在考虑积分时，常数可以提出到积分号以外，积分函数只剩下单频率信号，该积分结果与k值有关，表现为以下2种情况：
A?dt?A 零频率分量就是该常数； T1?T?jk?t0?dt?0 单频率信号在整个周期段的积分一定为0； 当k?0时，ak???eTT 当k=0时，a0?率坐标的角度看，常数的频谱表现频域中的一个单独冲激，该冲激的频率坐标为零。
频率分量求解2：
上述例题都是采用正变换方法，通过积分求解频谱；
从傅氏级数系数的角度看，常数只有一个零频率分量表现为常数，其他频率分量都为零；而从频
也可以利用反变换方法，先将时间信号分解为单频率信号的组合，然后通过与组合系数的对比得到各频率分量的具体取值。
例3 常数的频谱
当时间信号为常数时，x?t??A 该信号不随时间变化； 与傅氏级数的表达式对比：x?t??k????a?k?ejk?0t
该表达式中，只有a0一项为常数，与时间无关，当k?0时其对应的各项都随时间变化，因此其系数应该取0才能与时间信号的表达一致； 所以，自然可以得到与例题2同样的结论。
例4 一般正弦信号的频谱
考虑一般正弦信号 x?t??A?cos??0?t???，该信号基本频率为?0； 利用欧拉公式，可以将其表达为单频率信号的组合： x?t??A?cos??0?t???? a1? 与傅氏级数的标准表达对比可得：
A?j?j?0tAj??j?0t?e?e??e?e 22 从频率函数的角度看，一般正弦信号具有2个频率分量，幅度相同，相位相反，分别位于频率坐标????0处。
例5 正弦组合信号的频谱
当时间信号表现为若干正弦信号的组合时，首先应该判断这种组合是否周期信号，若是周期信号，则确定其基本频率，再考虑将信号以基本频率整数倍的单频率信号表达； 设 x?t??sin?0.6t??2cos?2t? 两个正弦函数的周期比值为
A?j?A?e a?1??ej? ak??1?0 22