发布时间 : 星期六 文章信号与系统B讲稿-1更新完毕开始阅读c2b5b1f3915f804d2a16c156
利用正变换关系和反变换关系，可以在时间信号和对应频谱之间建立起一一对应关系 x?t?????X?j??
CTFT这种对应关系称为CTFT变换对，利用这些关系，对于已知时间信号x?t?，可以通过正变换关系求得其连续频谱表达X?j??；而对于已知连续频谱X?j??，也可以通过反变换关系求得其对应的连续时间信号x?t?。
CTFT正变换的收敛性条件
连续信号的连续频谱表达式涉及到无限大时间区间的积分，即使信号在整个时间区间中为有限大小，也不足以保障积分的收敛性，因此需要满足更为严格的收敛性条件 X?j????x?t?dt?? ???该条件也称为绝对可积条件，根据该条件可以得出，只有在正负无限大点取值为0的信号才能满足收敛性条件，通过正变换得到连续频谱；满足这种条件的信号通常也是时限信号中的能量信号；在工程实际中，所处理的信号都能满足这种要求。
显然，很多的信号，特别是周期信号都不满足上述条件，需要采用其他方式解决其频谱表达问题。 对偶关系
在CTFT的变换关系中，正反变换关系具有很大的相似性：都是无限大区间积分，被积函数中都包含单频率信号与对应信号的乘积，只有改变变量的表达和个别正负号，就可以由一个变换表达式得到另一个变换表达式，这种现象称为对偶关系；
利用对偶关系，通过变量对换和适当的常数改变，可以得到下列关系： 若 x?t?????X???
CTFT?? 则 x?????CTFT 根据该关系，一旦建立一个傅氏变换对，就可以得到对偶的另一个傅氏变换对；
使用对偶关系可以提高傅氏变换的效率，有效解决很多复杂函数的变换问题，更重要的是，可以采用这种方法解决很多不满足收敛性条件的信号变换问题。
例1 标准冲激信号的频谱以及常数的频谱
标准冲激信号是最简单的时间信号，该信号的频谱可以由CTFT正变换关系得到 X?j????1X??t? 2??????t??e?j?t?dt????t??dt?1
??? 由此可以得到基本变换对 ??t?????1
CTFT 该结果可以看出，冲激信号的频谱为常数；从信息分布的角度看，冲激信号为全频带信号，所有频率分量的强度相同，具有所有的信息，因此，将此信号作为测试信号送入线性时不变系统，通过与冲激响应的频谱对比，可以明确表现系统对每一个不同频率分量的作用，体现出系统在信息处理
方面的特性。
对上述变换对使用对偶关系，可以得到与其对偶的变换对 ????????1/2?
CTFT 或按照规范表达 1????2??????
CTFT 该结果表明，当时间信号为常数时，频谱表现为发生在零点的冲激；
需要指出，常数信号是不满足收敛性条件的，其频谱不可能局限于有限表达中，也不可能使用正变换关系求解频谱；利用对偶定理，并采用频域冲激信号的表现形式，能够得到常数频谱的解析表达，这也正是对偶关系的重要意义所在。
例2 平移后的冲激响应频谱与单频率信号频谱
利用CTFT正变换关系求解平移后的冲激响应频谱，结果如下： X?j?????????t?t0??e?j?t?dt????t??e?j?t0dt?e?j?t0
??? 由此得到基本变换对
CTFT ??t?t0?????e?j?t0
该结果可以看出，对应频谱表现为频域的虚指数函数：幅度频谱保持为1，相位频谱表现为线性相位（相位与频率及时移量均保持正比关系）；
上述变换对的对偶表达为 ?????0?????CTFT 或按照规范表达
1j?0te 2?CTFTej?0t????2???????0?
该变换对的时间信号为频率为?0的单频率信号，其对应的频谱则为频率坐标为?0处的频域冲激；与上例类似，时间信号中的单频率信号不满足收敛性条件，不能由CTFT正变换关系求解频谱，而采用对偶关系，利用频域冲激信号，则方便地解决了频谱表达的问题。
单频率信号是周期信号傅氏级数表达的基础，任何周期信号都能够通过傅氏级数方式由单频率信号的组合表达；一旦每个单频率信号的频谱可以确定，周期信号的频谱也就可以采用这些单频率信号的频谱组合表达： x?t??x?t?T??
X?j???2???k???k????ak?k?ejk?0t
?a?????k?0?
利用上述表达，对于任何周期信号，一旦将其表达为傅氏级数形式，得到了所有的系数ak，就可以将2??ak作为各对应频率点频域冲激的强度，获得该周期信号在CTFT意义下的频谱表达。
例如，对于标准冲激串这种最简单的周期信号，其傅氏级数系数表现为常数ak?1/T，则冲激串的频谱表现为
?2?? X?j?????????k?0???0??????k?0?
Tk???k??? 或以变化对形式表现为
?
或采用简化符号表达为
CTFTn??????t?nT????????????k??
CTFT00k???? ?T?t??????0???0???
由以上结果可以看出，对于时间信号的标准冲激串，其频谱函数也是冲激串；当时间冲激串周期为T、强度为1时，其频谱冲激串周期和强度都为?0。
本课参考教材章节：
第四章 4.1 4.2 4.3.6
第14次课
4.2 CTFT的运算性质
时间信号与频谱分布形成一一对应关系，对时间信号进行运算，其频谱分布可能发生变化，了解这种影响对信息的处理具有重要意义；关于这一问题的重要性在第三章已经介绍。
考虑到傅氏变换和傅氏级数采用相同的基本函数，傅氏变换中很多运算性质与傅氏级数的运算性质是类似的，因此本章不再对运算性质逐一证明，只是简要说明其意义；
与傅氏级数不同的是，傅氏变换由于其正变换和反变换关系的类似，导致对每个时域运算性质都可以建立类似的频域运算性质，我们可以将它们归类讨论，便于记忆和理解；
此外，CTFT的处理对象是一般时间信号及其频谱，不再受到周期性的局限，因此在讨论各种运算关系时，不需要再考虑该运算对周期性的影响。
线性叠加关系
若两个时间信号及其频谱的变换对分别为
x1?t?????X1?j?? x2?t?????X2?j??
CTFTCTFT 则这两个信号线性组合的频谱可以表达为其频谱的线性组合 a?x1?t??b?x2?t?????a?X1?j???b?X2?j??
CTFT上述表达式对时域和频域形成对称表达：当时间信号叠加组合时，其对应频谱进行叠加组合；反过来说，当两个频谱信号进行叠加组合时，其对应的时间信号也进行叠加组合。
时间平移与频率平移
与傅氏级数中的情况相同，当时间信号发生时间平移时，对频谱函数形成的影响是乘以一个频域的虚指数函数
x?t?????X?j??
CTFTCTFT x?t?t0?????X?j???e?j?t0
该函数不会对幅度频谱产生任何影响，只是给相位频谱附加上一个线性相位??t0。
与上述运算对应的是在频域中将频谱函数进行平行移动（频谱平移），其效果是为对应的时间函数乘以时域的虚指数信号
CTFTej?0t?x?t?????X?j????0??
该式右边时间的虚指数信号正是时域的单频率信号；
该变换的意义在于：对任何时间信号乘以单频率信号，就可以使该信号的频谱在频域中移动，移动的距离取决于该单频率信号的频率；
利用这一关系，可以方便地改变信号所在的频段，将低频段的信号移动到高频段，或将高频段信号移动到低频段；在通信技术中，这种方法称为载波调制，该单频率信号称为载波信号。
时间与频率的压扩
在傅氏级数的讨论中，已经看到时间尺度变换对频谱的影响：时间信号受到压缩时，频谱信号扩张；时间信号扩张时，其频谱信号压缩；这一性质在CTFT中同样存在
CTFTx?a?t????? 需要注意的是，在CTFS的运算性质中，时间信号的压缩扩张仅仅导致频谱信号的扩张或压缩，但对每个频率分量的强度不会产生影响，但在CTFT的运算性质中，时间信号的这种运算不仅导致频谱的压扩，也会对频谱的强度产生影响。
时间与频率的反折
与CTFS相同，当对时间信号进行反折时，其频谱也发生反折 x??t?????X??j??
CTFT1?X?j??/a?? a
时间与频率的微分
与傅氏级数类似，对时间信号进行微分，其频谱乘以变量和虚指数符号 x'?t?????j??X???
CTFT 该运算一方面给每个频率分量带来90度相移，另一方面给频率幅度乘上变量，导致低频分量衰减，高频分量放大，直流分量消失；
上述表达式可以推广到对时间信号多次微分的情况：
CTFT x?n??t??????j???X???
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