发布时间 : 星期二 文章2020版高中数学第二章数列2.3.1等比数列（第1课时）等比数列的概念及通项公式学案更新完毕开始阅读c3e5c68f0a4e767f5acfa1c7aa00b52acec79c13
第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
知识点一 等比数列的概念 等比数列的概念和特点．
1．文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：
an?an＋1＝q，n∈N＋?. ＝q(n≥2)?或?an－1?an?
3．等比数列各项均不能为0. 知识点二 等比中项的概念
等比中项与等差中项的异同，对比如下表：
对比项 定义 等差中项 若x，A，y成等差数列，则等比中项 若x，G，y成等比数列，则A叫做x与y的等差中项 A－x＝y－A x＋yA＝ 2G叫做x与y的等比中项 Gy＝ xGG＝±xy x与y的等比中项有两个，且互为相反数 只有当xy＞0时，x与y才有等比中项 定义式 公式 个数 x与y的等差中项唯一 任意两个数x与y都有等差中项 备注
知识点三 等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1
(n∈N＋)．
1．若an＋1＝qan，n∈N＋，且q≠0，则{an}是等比数列．( × ) 2．任何两个数都有等比中项．( × )
1111
3．等比数列1，，，，…中，第10项为9.( √ )
2482
4．常数列既是等差数列，又是等比数列．( × )
题型一 等比数列的判定
命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列 例1 判断下列数列是否为等比数列． (1)1,3,33，…，3，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a，a，a，…，a，….
解 (1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3，….
n-1
1
2
32,3
n-1
nan3n-1∵＝＝3(n≥2，n∈N＋)， an－13n-2
∴数列为等比数列，且公比为3.
(2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵＝－1≠＝2，∴此数列不是等比数列．
(3)当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；
当a≠0时，数列为a，a，a，a，…，a，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. 反思感悟 判定等比数列，要抓住3个要点：
①从第二项起．②要判定每一项，不能有例外．③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.
跟踪训练1 下列各组数成等比数列的是( )
①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x，x，x，x；④a，a，a，a. A．①② C．①②④ 答案 C
解析 ①②显然是等比数列；由于x可能为0，③不是；
B．①②③ D．①②③④
2
3
4
－1
－2
－3
－4
1
2
3
4
a2a1a3a2
na不能为0，④符合等比数列定义，故④是．
命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列 例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0. ∴
an＋1＋1
＝2(n∈N＋)． an＋1
∴数列{an＋1}是等比数列．
(2)解 由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋1＝2·2
n－1
＝2.即an＝2－1.
nn反思感悟 等比数列的判定方法 (1)定义法：an＝q(n≥2，q是不为0的常数)?{an}是公比为q的等比数列． an－1
2
(2)等比中项法：an＝an－1·an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1均不为0)?{an}是等比数列． 跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)． (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15. an＋1－n＋
an－n3an－＝n＋
＋3－an－nn＋
3an－3n＝＝3(n＝1,2,3，…)． an－n又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知an－n＝－2·3，∴an＝n－2·3. 题型二 等比数列基本量的计算 例3 在等比数列{an}中． 1
(1)已知a2＝4，a5＝－，求an；
2
1
(2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.
2解 (1)设等比数列的公比为q，
n-1
n-1
a1q＝4，??则?41
a1q＝－.?2?
a1＝－8，??
解得?1
q＝－.?2?
?1?n-1?1?n-4n-1
∴an＝a1q＝(－8)?－?＝?－?.
?2??2?
(2)设等比数列{an}的公比为q.
181
∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝＝.
362∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q)＝18.
3
?1?n-4n-4
∴a4＝16，an＝a4·q＝16·??.
?2??1?n-41
由16·??＝，得n－4＝5，∴n＝9.
2?2?
反思感悟 已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项． 跟踪训练3 在等比数列{an}中： (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
解 (1)由等比数列的通项公式得a6＝3×(－2)＝－96. (2)设等比数列的公比为q，
??a1q＝20，
那么?5
?a1q＝160，?
n-1
2
6-1
??q＝2，
解得?
?a1＝5.?
n-1
所以an＝a1q＝5×2，n∈N＋.
方程的思想在等比数列中的应用
典例1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
a＋d解 方法一 设这四个数依次为a－d，a，a＋d，
aa＋d??a－d＋
a由条件得?
??a＋a＋d＝12.
2
2
，
＝16，
q解得?
?a＝4，???d＝4
或?
?a＝9，?
??d＝－6.
所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0，4，8，16； 当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 方法二 设这四个数依次为
2aa－a，，a，aq(q≠0)，
q2a??q－a＋aq＝16，
由条件得?a??q＋a＝12，
??a＝8，
解得?
?q＝2?
a＝3，??
或?1
q＝.??3
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16； 1
当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1.
3