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期末复习---- 第四章 相似图形
一、基础知识
(一).比例
1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2.比例性质：
acab??ad?bc ??b2?ac bdbcaca?bc?d?（2）合比定理：??
bdbdacma?c???ma?.(b?d???n?0) （3）等比定理：????bdnb?d???nb（1）基本性质：
3.黄金分割：如图，若PA?PB?AB，则点P为线段AB的黄金分割点．
2APB4．平行线分线段成比例定理
(二)相似
1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.
2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等. 3.相似三角形的判定
? （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ? （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
? （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 ? （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 4.相似三角形的性质
? （1）对应边的比相等，对应角相等. ? （2）相似三角形的周长比等于相似比.
? （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.
? （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.
梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:
１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等
3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似:
位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.
位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
二、经典例题
例1.如图(1)在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC与△DEF是否相似？
图（1） 图（2）
例2. 如图(2)所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．
例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD?的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，?要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，?这个正方形零件的边长是多少？
例5.如图，已知四边形BDFE是菱形，DC=
_ BD_ _ C_ E_ F1BD，且DC=4，求AE的长度 2_ A
例6.如图，在△ABC中，AB=14，AC=6，在AC上取一点D，使AD=3，如果在AB上取点E，使△ADE和△ABC相似，则AE的长度为多少？
AD三．课堂训练
BC（一）选择题
1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ） （A）
m?n2mnmnm?n （B） （C） （D） mnm?nm?n2mnAD1＝，AE＝BE，则（ ） AC32．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且
（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD
题2 题4 题5
3．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
5．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（ ）
（A）∠APB＝∠EPC （B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP︰BC＝2︰3 6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件： （1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）
CDAC＝；（4）AB2＝BD·BC ADAB其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（ ）
（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个
题6 题7 题8
7．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（ ）
（A）AE⊥AF （B）EF︰AF＝2︰1（C）AF2＝FH·FE （D）FB︰FC＝HB︰EC
8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（ ）
（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长 （B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积 （C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC
9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（ ）
（A）4︰10︰25 （B）4︰9︰25 （C）2︰3︰5 （D）2︰5︰25
题9 题10 题11 题12
10．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（ ）．
（A）5︰12 （B）9︰5 （C）12︰5 （D）3︰2 11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝
1AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，4此时BC︰CD为（ ）
（A）2︰1 （B）3︰2 （C）3︰1 （D）5︰2
12．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（ ）
（A）4 cm、10 cm （B）5 cm、10 cm（C）4 cm、23 cm （D）5 cm、23 cm
（二）填空
13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与a－b的比例中项是_____cm． 14．若
a?bb?ca?c＝＝＝－m2，则m＝______． cab
16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝
1FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______． 2 题16 题17 题18 17．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．
18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适
的条件）．
19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．
题19 题20 题21
20．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则
△ABC的面积是______．
21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD
面积是_________．
22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，AD＝8 cm，BC＝14 cm，
则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．
(三)解答题
23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．
24. 已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证
AECG＋＝1 ABCD