发布时间 : 星期四 文章(名师导学)2020版高考数学总复习第二章函数第8讲函数的奇偶性、周期性与对称性练习理(含解析)新人教A版更新完毕开始阅读c4a2a6105afb770bf78a6529647d27284a733771
g(2 019)=f(2 019)+f(-2 019)=f(3)+f(-3)=f(-1)+f(1)=2f(1)=π.
【答案】C
5.若f(x)=ln(e+1)+kx是偶函数,则k=________. 【解析】∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),
x?1?∴ln?+1?-k=ln(e+1)+k, ?e?
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解得k=-,经检验k=-符合题意.
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【答案】-
2
6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R都有f(x+4)=f(x)+
f(2),f(1)=4,则f(3)+f(10)的值为________.
【解析】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(x)=f(-x), ∵f(x+4)=f(x)+f(2),
令x=-2,可得f(2)=f(-2)+f(2), 则f(-2)=0,f(2)=f(-2)=0, ∴f(x+4)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的函数, ∴f(10)=f(6)=f(2)=0, ∵f(1)=4,
∴f(3)=f(-1)=f(1)=4, 则f(3)+f(10)=4+0=4. 【答案】4
7.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的不恒为零的函数,对于任意非零实数a,b满足f(ab)=f(a)+f(b),且当x>1时,有f(x)>0.
(1)判断并证明y=f(x)的奇偶性;
(2)求证:函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,并求不等式f(x-1)<0的解集. 【解析】(1)f(x)是偶函数. 证明:由已知得f(1)=f(1)+f(1), ∴f(1)=0,f(1)=f(-1)+f(-1), ∴f(-1)=0,f(-x)=f(-1)+f(x), 即f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.
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(2)设x1>x2>0,则>1,∴f??>0.
x1x2
?x1??x2?
?x1??x1?所以f(x1)=f?·x2?=f??+f(x2)>f(x2),
?x2
?
?x2?
所以f(x)在(0,+∞)上为增函数. 因为f(x-1)<0=f(1),又f(x)是偶函数, 所以有|x-1|<1,解得0<x<2. ∴不等式f(x-1)<0的解集为(0,2). 8.已知函数f(x)=x-2x.
2
?1?(1)当x∈?,3?时,求函数f(x)的值域; ?2?
(2)若定义在R上的奇函数g(x)对任意实数x,恒有g(x+4)=g(x),且当x∈[0,2]时,g(x)=f(x),求g(1)+g(2)+…+g(2 020)的值.
【解析】(1)由题意得f(x)=x-2x=(x-1)-1,
2
2
?1?∵x∈?,3?, ?2?
?1?∴f(x)在?,1?上单调递减,在[1,3]上单调递增. ?2?
∴当x=1时,f(x)取得最小值,且[f(x)]min=-1. 3?1?又f??=-,f(3)=3, 4?2?∴[f(x)]max=3.
∴函数f(x)的值域是[-1,3].
(2)由g(x+4)=g(x)可得函数g(x)的周期T=4,
∵g(1)=f(1)=-1,g(2)=f(2)=0,g(3)=g(-1)=-g(1)=1,g(4)=g(0)=f(0)=0,
∴g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0,
∴g(1)+g(2)+…+g(2 020)=505[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]=0.
B组题
1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称,若函数f(x)=x(0 A. 22 B.1.5 C.- D.-1.5 22 【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数, 14 所以可得f(-x)=-f(x). 又因为它的图象关于直线x=1对称, 所以可得f(x)=f(2-x). 由上面两式可得-f(-x)=f(2-x). 由此可递推得f(2-x)=-f(-x)=f(-2-x). 所以函数f(x)周期为4. 所以f(-5.5)=f(-1.5)=-f(1.5)=-f(2-1.5)=-f(0.5)=-【答案】C 2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x+2x,若f(2-a)>f(a),则实数a的取值范围是________. 2 2 2. 2 【解析】∵f(x)是奇函数,∴当x<0时,f(x)=-x+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知f(x)是R上的增函数,由f(2-a)>f(a), 得2-a>a,解得-2<a<1. 【答案】(-2,1) 2 2 2 ?3??3?3.已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f?x+?=-f(x),且函数y=f?x-?是奇?2??4? 函数,给出以下四个命题: ①函数f(x)是周期函数; ?3?②函数f(x)的图象关于点?-,0?对称; ?4? ③函数f(x)是偶函数; ④函数f(x)在R上是单调函数. 在述四个命题中,正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). ?3?【解析】对于①,∵f(x+3)=-f?x+?=f(x), ?2? ∴函数f(x)是以3为周期的周期函数,故①正确; ?3?对于②,∵y=f?x-?是奇函数,∴其图象关于原点对称,又函数f(x)的图象是由y?4? 15 3?3??3?=f?x-?的图象向左平移个单位长度得到,所以函数f(x)的图象关于点?-,0?对称,故4?4??4?②正确; 对于③,由②知,对于任意的x∈R,都有 ????f?--x?=-f?-+x?, ? ? 3?3??3?用+x换x,可得:f?--x?=-f(x)=f?x+?, 4?2??2? 3 令t=+x,则f(-t)=f(t),∴函数f(x)是偶函数,故③正确; 2对于④,由③知f(x)是偶函数,偶函数的图象关于y轴对称, ∴f(x)在R上不是单调函数,故④错误. 综上所述,正确命题的序号是①②③. 【答案】①②③ 4.关于函数y=f(x)(x∈D)有如下结论:若函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,则有f(a+x)+f(a-x)=2b成立. -2x+1 (1)若函数f(x)=的图象关于点(2,m)对称,根据题设中的结论求实数m的值; x-2(2)若函数y=f(x)的图象既关于点(2,0)对称,又关于点(-2,1)对称,且当 3?43?4 x∈[2,6]时,f(x)=2x+3x,求f(-5)的值. 【解析】(1)f(x)= -2x+1 的定义域为{x|x≠2}, x-2 对任意x(x≠2),都有f(2+x)+f(2-x)=2m, 即 -2(2+x)+1-2(2-x)+1 +=2m,解得m=-2. 2+x-22-x-2 (2)因为函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称, 所以f(2+x)+f(2-x)=0, 即f(x)+f(4-x)=0,① 又函数y=f(x)的图象关于点(-2,1)对称, 所以f(-2+x)+f(-2-x)=2, 即f(x)+f(-4-x)=2,② 由①②得,f(4-x)=f(-4-x)-2, 即f(x)=f(x+8)+2, 16