发布时间 : 星期日 文章青岛版九年级数学上册第1章图形的相似中考原题训练(附答案)更新完毕开始阅读c4ec42b6d35abe23482fb4daa58da0116c171f8b
（2）由四边形AEFD为菱形，列出方程y=60﹣x与y=x组成方程组求x的值，
（3）当△EDF=90°时，由△DEF是直角三角形，列出方程60﹣x=2y，与y=x组成方程组求x的值；当△DEF=90°时，根据EF△AC可知△EDA=△DEF=90°，所以当△ADE△△ABC，再由相似三角形的对应边成比例可得出关于x的方程，再把y=x代入即可得出x的值．
解答： 解：（1）△在Rt△ABC中，△B=90°，AC=60，AB=30，
△△C=30°，
△CD=x，DF=y．
△y=x；
（2）△四边形AEFD为菱形， △AD=DF， △y=60﹣x △方程组
，
解得x=40，
△当x=40时，四边形AEFD为菱形；
（3）当△EDF=90°时， △△DEF是直角三角形， △△FDE=90°， △FE△AC，
△△EFB=△C=30°， △DF△BC，
△△DEF+△DFE=△EFB+△DFE， △△DEF=△EFB=30°， △EF=2DF， △60﹣x=2y，
与y=x，组成方程组，得
解得x=30； 当△DEF=90°时， △EF△AC，
△△EDA=△DEF=90°，
△当△ADE△△ABC时，△DEF是直角三角形， △
=
，即
=
，
把y=x代入得，x=48，
△当△DEF是直角三角形时，x=48或30．
点评： 本题主要考查了含30°角的直角三角形与菱形的知识，解本题的关键是找出x与y的关系列方程组．
28．（2014?义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P． （1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求△APB的度数； ②若AE=2，试求AP?AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 专题： 证明题；动点型．
分析： （1）①证明△ABE△△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分
线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案．
（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；
解答： （1）①证明：△△ABC为等边三角形，
△AB=AC，△C=△CAB=60°， 又△AE=CF，
在△ABE和△CAF中，
，
△△ABE△△CAF（SAS）， △AF=BE，△ABE=△CAF．
又△△APE=△BPF=△ABP+△BAP， △△APE=△BAP+△CAF=60°． △△APB=180°﹣△APE=120°．
②△△C=△APE=60°，△PAE=△CAF，△△APE△△ACF， △
，即
，所以AP?AF=12
（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．
①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且△ABP=△BAP=30°， △△AOB=120°， 又△AB=6， △OA=， 点P的路径是
．
②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：
．
所以，点P经过的路径长为或3．
点评： 本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化
思想的运用．
29．（2014?淄博）如图，四边形ABCD中，AC△BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分△ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF． （1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；
（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理． 专题： 几何综合题．
分析： （1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得
△EAB+△EBA=90°，根据三角形外角的性质，可得答案；
（2）根据三角形中位线的性质，可得MF与AC的关系，根据等量代换，可得MF与BD的关系，根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系，根据等量代换，可得NM与BC的关系，根据同角的余角相等，可得△CBD与△NMF的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．
解答： （1）答：△BMN是等腰直角三角形．
证明：△AB=AC，点M是BC的中点， △AM△BC，AM平分△BAC． △BN平分△ABE， △EBN=△ABN． △AC△BD， △△AEB=90°，
△△EAB+△EBA=90°，
△△MNB=△NAB+△ABN=（△BAE+△ABE）=45°． △△BMN是等腰直角三角形；
（2）答：△MFN△△BDC．
证明：△点F，M分别是AB，BC的中点， △FM△AC，FM=AC．
△AC=BD， △FM=BD，即
．
△△BMN是等腰直角三角形， △NM=BM=BC，即△
．
，
△AM△BC，
△△NMF+△FMB=90°． △FM△AC，
△△ACB=△FMB． △△CEB=90°，
△△ACB+△CBD=90°． △△CBD+△FMB=90°， △△NMF=△CBD． △△MFN△△BDC．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，两边对应成比
例且夹角相等的两个三角形相似．
30．（2014?泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，△ADB=△ACB． （1）求证：
=
；
（2）若AB△AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．
考点： 相似三角形的判定与性质；菱形的判定． 专题： 证明题．
分析： （1）利用相似三角形的判定得出△ABE△△ACB，进而求出答案；
（2）首先证明AD=BF，进而得出AD△BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD=AB，得出四边形ABFD是菱形．
解答： 证明：（1）△AB=AD，
△△ADB=△ABE， 又△△ADB=△ACB， △△ABE=△ACB， 又△△BAE=△CAB， △△ABE△△ACB，
△=，
又△AB=AD， △
=
；
（2）设AE=x， △AE：EC=1：2，