发布时间 : 星期日 文章陈家璧版-光学信息技术原理及应用习题解答(7-8章)更新完毕开始阅读c5552caddf88d0d233d4b14e852458fb770b38a6
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或由(7-70)式, 更精确的递推公式为:
exp(tN = τW ln-tN?1?E)-tN?1
(3)
exp(-tN?1?E)?exp(?W)-1按(3)式建立起计算模型, 从(1)式出发, 可从后往前逆推出每个全息图的曝光时间. 应当指出的是:
a) 当计算出的tN+1足够大, (3)式右边的对数函数可能会不收敛,导致不能得出有意义的tN.
此时有意义的曝光时间个数(M-N)即为在题设条件下可以达到的角度复用度.
b) 若不指定全息图的个数, 按本题所给条件可以计算出角度复用度远大于100. 亦即本
题中的100个全息图是大量全息图序列中的最后100个, 因此可以使用近似递推公式(2)进行计算. 也就是说, 当目标衍射效率足够小时, 用(2)式计算也是相当精确的.
习 题
8．1利用4f系统做阿贝—波特实验，设物函数t（x1，y1）为一无限大正交光栅
?1xx??1yy?t(x1,y1)??rect(1)?comb(1)???rect(1)?comb(1)?
a1b1??b2a2b2??b1 其中a1、a2分别为x、y方向上缝的宽度，b1、b2则是相应的缝间隔。频谱面
上得到如图8-53（a）所示的频谱。分别用图8-53（b）（c）（d）所示的三种滤波器进行滤波，求输出面上的光强分布（图中阴影区表示不透明屏）。
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
（a） （b） （c） （d）
图8.53（题8.1 图）
解答：根据傅里叶变换原理和性质，频谱函数为
T ( fx , fy ) = ? [ t ( x1 , y1 )]
= {
xxy11? [rect(1)]·? [comb(1)] } ?{? [rect(1)·? b1a1b1a2b2。
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[comb(y1)]} b2将函数展开得 T ( fx , fy ) =
a1a1a1{sinc(a1fx)+sinc(1)δ(fx-)+sinc(1)δ(fx+)+???} b1b1b1b1b1 ?
a2a1a1sinc(a2fy)+sinc(2)δ(fy-)+sinc(2)δ(fy+)+???} b2b2b2b2b2{（1） 用滤波器（b）时，其透过率函数可写为
1 fx = + 1/ b1 fy = 0 F ( fx , fy ) =
0 fx ? 1/ b1 fy = 任何值 滤波后的光振幅函数为
T·F =
a1a11sinc(1)[δ(fx-)+δ(fx+)] b1b1b1b1 输出平面光振幅函数为 t’（x3，y3）= ? [ T·F ]
-1
=
2?x32?x3a1asinc(1){exp[j()]+exp[-j()]} b1b1b1b12?x32a1asinc(1)?cos() b1b1b12 =
输出强度分布为
4a2a122?x3 I（x3，y3）= 1sinc()?cos() 2b1b1b14?x32a2a1 = 1sinc()?cos() - C 2bbb111其中C是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。
（2）用滤波器（c）时，其透过率函数可写为
1 fx ，fy ? 0
F ( fx , fy ) =
0 fx = fy = 0 滤波后的光振幅函数为
2 T·F =
a1b1{sinc(a11a1)?(fx-)+sinc(1)?(fx+)+???} b1b1b1b1。
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?
a2b2{sinc(a21a1)?(fy-)+sinc(2)?(fy+)+???} b2b2b2b2 输出平面光振幅函数为 t’（x3，y3）= ? [ T·F ]
-1
x3a1x3x31rect()comb()rect()} = {[?] - b1a1b1b1b1 × {
yyy1a[rect(3)?comb(3)] - 2rect(3)} b2a2b2b2b2
输出强度分布为
2
I（x3，y3）= ? t’（x3，y3）?有两种可能的结果，见课本中图8．9和图8．10。
（3）用滤波器（d）时，输出平面将得到余弦光栅结构的强度分布，方向与滤波狭缝方向垂直，周期为b’，它与物光栅周期b1、b2的关系为
111 =+b’b12b22
8．2 采用图8-53（b）所示滤波器对光栅频谱进行滤波，可以改变光栅的空间频率，若光栅线密度为100线/mm，滤波器仅允许 + 2级频谱透过，求输出面上干板记录到的光栅的线密度。
解答：根据对8．1题的分析，当滤波器仅允许+ 2级频谱通过时，输出平面上的光振幅应表达为
t’（x3）= ? {sinc( -1
a122)[?(fx-)+?(fx+)]} b1b1b1 =
4?x32a1asinc(1)cos b1b1b1其振幅分布为一周期函数，空间频率是基频的2倍。而干板记录到的是强度分布：
4a2a124?x3 I = 1 sinc()cos2b1b1b18?x32a12a1 = - C sinc()cos2bbb111其中C是一个常数。
答：干板上记录到的光栅频率是基频的4倍，即400线/mm。
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8．3 在4f系统中，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数d = 4，线宽a =1，最大透过率为1，如不考虑透镜有限尺寸的影响，
（a）写出傅里叶平面P2上的频谱分布表达式；
（b）写出输出平面复振幅和光强分布表达式；
（c）在频谱面上作高通滤波，挡住零频分量，写出输出平面复振幅和光强分布表达 式；
（d）若将一个π位相滤波器 exp（jπ） x2，y2 ≤ x0，y0 H（x2，y2）=
0 其它
放在P2平面的原点上，写出输出平面复振幅和光强分布表达式，并用图形表示。 解答：将8．1题结果代入，其中b1 = d = 4，a1 = a = 1，除去与y分量有关的项，可得
（a）P2平面上的频谱分布为：
11111T(fx)={sinc(fx)+sinc()?(fx-)+sinc()?(fx+)+???}
44444（b）输出平面：
复振幅 t（x3）= ? [T（fx）]
若不考虑透镜尺寸的影响，它应该是原物的几何像，即 t (x3) = [rect(x3)?comb(光强分布 I (x3) = | t (x3)| =
2-1
14x3)] 4x1[rect(x3) ?comb(3)]2 164x3x31-)]rect() 444(c)挡住零频分量，输出平面情况与8．1题（3）相同，即 t (x3) = [rect(x3)?comb(2
14 I = | t (x3) |
由于a = d / 4，所以强度将出现对比度反转，像光栅常数仍为d = 4，线宽为 a’= 3，见下图
t（x3） I（x3）
0 x3 ··· ··· ··· ··· 0 x3
（d）将一个?位相滤波器置于零频上。滤波器可表达为 exp（j ?） f x = f y = 0 H（f x，f y）=
1 f x，f y ? 0 只考虑一维情况，频谱变为 T’（f x）= T（f x）·H（f x）
1411={-sinc(fx)+sinc()?(fx44= {sinc(fx)exp(j?)+sinc()?(fx-)+sinc()?(fx+)+???}
11114444111-)+sinc()?(fx+)+???} 444。
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