发布时间 : 星期三 文章第十章 统计与统计案例更新完毕开始阅读c613ec650a4c2e3f5727a5e9856a561252d3210e
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i＝1
? ?ti－t??yi－y?
^^^
，回归方程y＝a＋bt中斜率和截距
2ni＝1
n
参考公式：相关系数r＝
ni＝1
? ?ti－t?? ?yi－y?2
^
的最小二乘估计公式分别为b＝
i＝1
? ?ti－t??yi－y?
? ?ti－t?2
n
n
^^
，a＝y－b t.
i＝1
解：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t＝4，? (ti－t)2＝28,
i＝17
i＝1
? ?yi－y?2＝0.55，
7
7
i＝1
? (ti－t)(yi－y)＝?tiyi－t?yi＝40.17－4×9.32＝2.89，
i＝1
i＝1
77
∴r≈
2.89
≈0.99.
0.55×2×2.646
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由y＝
7
9.32
≈1.331及(1)得 7
^b＝
i＝1
? ?ti－t??yi－y?
＝i＝1
? ?ti－t?2
7
2.89
≈0.103. 28
^^
a＝y－b t≈1.331－0.103×4≈0.92. ^
所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t.
^
将2016年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．
2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，?，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
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88x y w i＝1? (xi－x) 2i＝1? (wi－w) 2i＝1? (xi－x)(yi－y) 8i＝1? (wi－w)(yi－y) 108.8 846.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 18
表中wi＝xi，w＝?wi.
8i＝1
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，?，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截
^
i＝1
? ?ui－u??vi－v?
^
^
n
距的最小二乘估计分别为β＝
i＝1
? ?ui－u?2
n
，α＝v－β u.
解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．
^
i＝1
? ?wi－w??yi－y?
? ?wi－w?2
8
8
由于d＝
i＝1
108.8＝＝68， 1.6
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^
^
c＝y－dw＝563－68×6.8＝100.6，
^
所以y关于w的线性回归方程y＝100.6＋68w， ^
因此y关于x的回归方程为y＝100.6＋68x. (3)①由(2)知，当x＝49时，
^
年销售量y的预报值y＝100.6＋6849＝576.6，
^
年利润z的预报值z＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
^
z＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.
^
13.6
所以当x＝＝6.8，即x＝46.24时，z取得最大值．
2
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份 年份代号t 人均纯收入y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 (1)求y关于t的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
^b＝
i＝1
? ?ti－t??yi－y?
? ?ti－t?2
n
n
^^，a＝y－bt
i＝1
11
解：(1)由所给数据计算得t＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4
77＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，? (ti－t)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
i＝17
i＝1
? (ti－t)(yi－y)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋
7
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^
2×0.9＋3×1.6＝14，b＝
i＝1
? ?ti－t??yi－y?
? ?ti－t?2
7
7
14
＝＝0.5， 28
i＝1
^^
a＝y－bt＝4.3－0.5×4＝2.3， ^
所求回归方程为y＝0.5t＋2.3.
^
(2)由(1)知，b＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
^
将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y＝0.5×9＋2.3＝6.8， 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考 [练基础小题——强化运算能力]
1．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组^
样本数据(xi，yi)(i＝1,2，?，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系 －－
B．回归直线过样本点的中心(x，y)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
解析：选D 由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，－－
故A正确．又线性回归方程必过样本点的中心(x，y)，故B正确．由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1 cm，其体重约增加0.85 kg，故C正确．当某女生的身高为170 cm时，其体重估计值是58.79 kg，而不是具体值，因此D不正确．
2．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n＝1 000)，利用2×2列联表和 K2统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得K2＝4.453，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是( )
A．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病 B．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病 C．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关” D．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
解析：选C 由已知数据可得有1－0.05＝95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”．