发布时间 : 星期日 文章2009年数学建模A题 获奖论文 - 图文更新完毕开始阅读c6219f600b1c59eef8c7b415
制动器试验台的控制方法分析
摘要
本文通过制动器试验台对车辆路试的模拟，建立了求解试验台电动机电流的模型。
问题一，我们建立了关于汽车平动的动能与试验台主轴及飞轮的转动动能之间的等式。根据刚体绕定轴旋转的动能表达式，主轴及飞轮的转动动能包含了所要求的等效转动惯量，由此求得J?51.9989kg?m2。
对于问题二，我们先依据物理学关于转动惯量的内容，求解出三个钢制环形飞轮的转动惯量分别为30.0083kg?m2,60.0166kg?m2,120.0332kg?m2。然后加上基础惯量10kg?m2，可以组合成值分别为10,40.0083,70.0166(单位均为kg·m2)等8种机械惯量。考虑到电动机能补偿的惯量范围为 [-30, 30] kg·m2，要得到问题一等效的转动惯量，在上述8种机械惯量中，只有40.0083kg?m2,70.0166kg?m2满足要求，求得对应的补偿惯量为11.9906kg?m2,?18.0177kg?m2。
问题三，根据制动扭矩在路试及实验时做的功相等，建立起依赖于瞬时角速度的电动机扭矩的方程，由此可以建立求解电动机的驱动电流的模型。依据此模型，求得对应于问题二补偿惯量为11.9906kg?m2,?18.0177kg?m2的驱动电流分别为174.6881A和-262.4954A。
问题四，我们依据制动器在路试以及实验消耗的能量差来评价控制方法的优劣。求得制动器在路试以及实验消耗的能量消耗的总能量分别为52150J和49242J，他们的相对误差为5.58%。同时，我们又选取每一小的时间间隔内制动器的能量消耗，得到路试及实验各时间小段内能量的平均相对误差为20.28%，由此可知该控制方法不够精确。
对于问题五，我们在问题三求得的关于电动机扭矩模型的基础上，主要采取能量补偿的原则，将时间划分为若干个小段，将第n段电动机理论与实际输出能量的误差补偿到第n+1段电动机实际的输出的能量上去。由此建立等式，最终求得关于电动机电流的递推式：
i(n?1)?kJ补偿[wn?1?(2wn?1?wn)2]?[kJ补偿(wn?1?wn)?i(t)?t](wn?1?wn)(3wn?1?wn)?t2
最后，我们同样从能量角度对该控制方法进行了评价。
问题六，考虑到在用问题五控制方法进行模拟实验时观测到的角速度值应尽可能与路试时的角速度值相一致，为此我们通过某时段实验时的飞轮角速度与路试时的车轮角速度的差值来改变该时段电动机的电流值，来对问题五进行改进。
关键词：动能定理 刚体绕轴旋转 能量补偿
1问题重述
为了检测汽车的行车制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试，可以在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速后电动机断电同时施加制动。
路试车辆制动时承受的载荷在平动时具有的能量等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的等效的转动惯量如不能精确地用机械惯量模拟试验，则让电动机参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量。要得到电动机驱动电流与时间之间的精确关系，工程中常用的控制方法是：把整个制动时间离散化，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值。而控制方法的优劣可从设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差的大小来评价。
根据以上内容解答下列问题：
问题（1），设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动惯量。
问题（2），飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kg·m2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 [-30, 30] kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？
问题（3），建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题一和问题二的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。
问题（4），对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kg·m2，机械惯量为35 kg·m2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。
问题（5），按照问题三导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。
问题（6），考查问题五给出的控制方法是否有不足之处，并请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。
2问题假设
1. 路试时车轮自身转动具有的动能忽略不计 2. 制动过程中不考虑摩擦带来的影响
3. 不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差
3 符号说明
w 瞬时角速度
r 车轮的滚动半径 (r?0.286m)
F 车轮制动时承受的载荷 (F?6230N) g 重力加速度 (g?9.8m/s2)
Mi 三个飞轮的质量 Ji 三个飞轮的转动惯量 J0 基础惯量
J 与飞轮和主轴转动时具有的能量相应的转动惯量即等效转动惯量
J机械 机械惯量
J补偿 电动机补偿惯量 M电 电动机扭矩
J等效 与路试时等效的转动惯量
E路 路试时制动器制动过程中消耗的能量 E试 试验台上制动器在制动过程中消耗的能量
4问题分析与基本思路
对于问题一，车轮是承受载荷的，忽略车轮自身转动时的能量，可以根据载荷在车辆平动时具有的能量与试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量相等的关系，建立一个包含等效转动惯量的方程，从而对其求解。
问题二中，先根据转动惯量的定义求得三个飞轮的转动惯量，再加上基础惯量，经过组合便可得到机械惯量。而在试验时，电动机补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，可以在等效惯量与机械惯量的差值中找到电动机补偿范围之内的补偿惯量。
对于问题三，题目要求电动机的驱动电流，考虑到电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（比例系数取为1.5 A/N·m），所以得先求其产生的扭矩。根据制动器在路试和实验时消耗的能量近似相等，依此建立等式，等式中包含主轴旋转的瞬时转速以及电动机的扭矩。将上述模型求得后，将相关数据代入，就可得到问题三的结果。
对于问题四，评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，我们只需要求出设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量。对于路试时制动过程中消耗的能量是动能的减少，可以从与路试等效的转动惯量来算得，而试验台上制动器在制动过程中消耗的能量可以从主轴的扭矩对主轴做功来求得。
问题五，考虑到在整个模拟过程中由能量来控制，我们想到将整个时间段离散化后，用前一时段的能量误差来补偿下一时段的电动机的补偿能量，再由其与电流值之间的关系建立关于计算电流值的递推式。
问题六，考虑到在用问题五控制方法进行模拟实验时观测到的角速度值应尽可能与路试时的角速度值相一致，为此我们通过某时段实验时的飞轮角速度与路试时的车轮角速度的差值来改变该时段电动机的电流值，来对问题五进行改进。
5 模型的建立与求解
5.1 问题一
问题一的解决，我们可以从能量等效这一关系入手，即将车轮制动时承受的载荷在车辆平动时具有的能量等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与后者能量相应的转动惯量即为本题所求的等效的转动惯量。
在忽略车轮自身转动的能量时，车辆平动时具有的能量E1仅仅只有车辆的
1动能，即E1?Ek?mv2，而车辆平动时的线速度等于车轮角速度w与车轮滚动
21半径r的乘积，即v?wr，所以E1?m(wr)2。（车身的质量m可由车轮制动时
2承受的载荷F除以重力加速度计算，即m?F） g试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量E2根据刚体绕轴旋转的能量
[1]
得E2?12Jw。（J为所求的等效转动惯量） 2基于上述讨论，当两个能量等效即E1?E2时：
F212212
m(wr）=Jw 即 J?mr?r
g22