发布时间 : 星期二 文章排列组合常见题型及解题策略答案更新完毕开始阅读c6473faa28ea81c759f57847
- 9 -
22A7A88然后再安排其余8人到另两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总
4332A?3A?3A?7A?4088种 8888数为
【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
2C4【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒323AC44中每次排3个有种，故共有A4?144种.
九．相同元素的分配问题隔板法：
【例1】：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C16?120种。
【例2】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种
6C9分配方案，故共有不同的分配方案为?84种.
2变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有 种
变式2：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有 种
【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
3C4【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。
- 10 -
2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空
222CCC挡中分别插入两个板。各有3、4、5种方法。
3222CCCC43453、由分步计数原理可得=720种
十．多面手问题（ 分类法---选定标准）
【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？
4431441324423113CC?CCC?CCC?CC?CC?CC2C1C4 5452452454545
变式：. 有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式? 答案 ：185
十一．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）
【例1】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？ 【解析】 ：插空法解题：考虑走3级台阶的次数： 1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法； 2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）； 3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的
1C6空中，有 ?6种
（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的
2C6空中，有?15种走法。
4）有3次（不可能）
5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3
- 11 -
12C?C?15走法； 55级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种
6）有5次（不可能） 故总共有：1+6+15+15=37种。
变式：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( ) （A）34种
（B）55种
（C）89种
（D）144种 答案： （C）
十二．排数问题（注意数字“0”）
【例1】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
5A5【解析】 ：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，
11311311313A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个，合并总计300个,选B.
（2）从1，2，3，?，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 【解析】 ：将
I??1,2,3,100?分成四个不相交的子集，能被4整除的数集
B??1,5,9,97?99?，能被4除余2的数集
A??4,8,12,100?C??2,6,,98?；能被4除余1的数集
，能被4除余3的数集
D??3,7,11,，易见这四个集合中每一个有
25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有
2112C25?C25C25?C25种.
十三．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论; （2）根据相对区域是否同色分类讨论;
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
【例1】 将一个四棱锥S?ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______.
- 12 -
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任
12C5选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有A4?60种方法。
(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四
2A4种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；再从余下的两
种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即
1211C5可，故有A4C2C2?240种方法。
5A(3)若恰用五种颜色染色，有5?120种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.
【解析二】设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有5x4x3=60种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；
C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有1x3+2x2=7种染色方法。由乘法原理，总的染色方法是60x7=420
【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用5种颜色涂色，有几种的涂色方法？ 总体实施分步完成,可分为四大步: ①给S涂色有5种方法;
②给A涂色有4种方法(与S不同色); ③给B涂色有3种方法(与A,S不同色);
④给C,D涂色.当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法; 当C与A同色时,C有一种涂色方法(与A同色),D有3种涂色方法.给C,D涂色共有2×2+3=7种方法.
- 13 -
由分步计数原理共有5×4×3×7=420种方法
[规律小结] 涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论;（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。 十四．“至多”“至少”问题用间接法或分类: 十五． 几何中的排列组合问题:
xy??122x?y?100有公共点，且公共点a，bab【例1】 已知直线（是非零常数）与圆
的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条 【解析】： 圆上的整点有：(?6,?8) ,(?8,?6),(?10,0),(0?10) 12 个
21C=66C12 其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有12=12 ，
其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60 答案:60