发布时间 : 星期三 文章2019届高考数学一轮复习：《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》教学案（含解析）更新完毕开始阅读c652c09303020740be1e650e52ea551811a6c952
第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[知识能否忆起]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； tan α＋tan β
(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝；
1－tan αtan βtan α－tan β
(6)T(α－β)：tan(α－β)＝. 1＋tan αtan β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)C2α：cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα； 2tan α
(3)T2α：tan 2α＝. 2
1－tanα3．常用的公式变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； 1＋cos 2α1－cos 2α22
(2)cosα＝，sinα＝；
22(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)，
2
2
2
2
2
2
?sin α±cos α＝2sin?α±
?
π??. 4?
[小题能否全取]
1．(2018·福建高考)若tan α＝3，则A．2 C．4 解析：选D
sin 2α
的值等于( ) 2
cosα
B．3 D．6
sin 2α2sin αcos α
＝＝2tan α＝2×3＝6. 22
cosαcosα
2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )
A．－
2
2
B.
2 2
C.
3
2
D．1
2. 2
解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝2
3．已知sin α＝，则cos(π－2α)等于( )
3A．－
5
3
1B．－ 9D.5 3
1
C. 9
4122
解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sinα)＝2sinα－1＝2×－1＝－. 99π?4?4．(教材习题改编)若cos α＝－，α是第三象限角，则sin?α＋?＝________
4?5?32
解析：由已知条件sin α＝－1－cosα＝－，
5π?2272?sin?α＋?＝sin α＋cos α＝－. 4?2210?72
答案：－
10
π?2?5．若tan?α＋?＝，则tan α＝________. 4?5?π?tan α＋12?解析：tan?α＋?＝＝， 4?1－tan α5?即5tan α＋5＝2－2tan α. 3
则7tan α＝－3，故tan α＝－.
73
答案：－ 7
1.两角和与差的三角函数公式的理解：
(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；
前面是两角差，则后面中间为“－”号．
(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．
(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cosα－sinα
＝2cosα－1＝1－2sinα，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能
化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中
2
2
2
2
的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
三角函数公式的应用
典题导入
?1π?[例1] (2018·广东高考)已知函数f(x)＝2sin?x－?，x∈R.
6??3?5π?(1)求f??的值；
?4?
π?106?π??(2)设α，β∈?0，?，f?3α＋?＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
2?2?135??
?1π?[自主解答] (1)∵f(x)＝2sin?x－?，
6??3
5π?5ππ?π??∴f??＝2sin?－?＝2sin＝2. 4?4??126?(2)∵α，β∈?0，
?
?
π??π?106，f?3α＋?＝，f(3β＋2π)＝， ?2??2?135
π?610?∴2sin α＝，2sin?β＋?＝. 2?513?即sin α＝∴cos α＝
53
，cos β＝. 135
124，sin β＝. 135
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 1235416
＝×－×＝. 13513565
由题悟法
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
以题试法
3?π?1．(1)已知sin α＝，α∈?，π?，则5?2?
cos 2απ??2sin?α＋?4??
＝________.
(2)(2018·济南模拟)已知α为锐角，cos α＝A．－3 4
C．－ 3
1B．－
7D．－7
5?π?，则tan?＋2α?＝( ) 5?4?
解析：(1)
cos 2α
π??2sin?α＋?4??
＝
cosα－sinα2?2?
2?sin α＋cos α?
2?2?
22
＝cos α－sin α，
34?π?∵sin α＝，α∈?，π?，∴cos α＝－. 55?2?7
∴原式＝－.
5
43252×241?π?(2)依题意得，sin α＝，故tan α＝2，tan 2α＝＝－，所以tan?＋2α?＝＝－. 51－4347?4?
1＋
3
1－
7
答案：(1)－ (2)B
5
三角函数公式的逆用与变形应用
典题导入
2x
[例2] (2018·德州一模)已知函数f(x)＝2cos－3sin x.
2
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
π?1cos 2α?(2)若α为第二象限角，且f?α－?＝，求的值． 3?31＋cos 2α－sin 2α?
?π?2x
[自主解答] (1)∵f(x)＝2cos－3sin x＝1＋cos x－3sin x＝1＋2cos?x＋?，
3?2?
∴周期T＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．
π?111
＝，∴1＋2cos α＝，即cos α＝－. ?3?333
22
. 3
2
2
?(2)∵f?α－
?
∵α为第二象限角，∴sin α＝
cos 2αcosα－sinα
∴＝ 2
1＋cos 2α－sin 2α2cosα－2sin αcos α122－＋33cos α＋sin α1－22
＝＝＝.
2cos α22
－3
由题悟法
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
以题试法
π?π?43??2．(1)(2018·赣州模拟)已知sin?α＋?＋cos α＝，则sin?α＋?的值为( )
6?3?5??